Derivada de la Función Inversa

Podemos relacionar la derivada de una función y de su inversa de la siguiente manera:

\[f^{\prime}(x)=\frac{1}{\left(f^{-1}\right)^{\prime}(y)}\]

De esa forma, podemos obtener la derivada de una dada función si tenemos la derivada de su inversa, y viceversa.

Mira que tenemos \((x)\) en la derivada de la izquierda y \((y)\) en la de la derecha. Eso pasa, porque, la función es función de \(x\) y su inversa de \(y\).

¡Ahora, tenemos un detalle! Solo podemos usar esa relación cuando la función es invertible. ¿E cómo saber se ella será invertible o no? Para eso usamos el Teorema de la Función Inversa, que dice:

Si \(f(x)\) es derivable y \(f^{\prime}(x) \neq 0\) entonces \(f(x)\) tiene inversa.

Así de sencillo, basta garantizar que la función nunca tendrá su derivada nula y que esa derivada exista.

Así, por ejemplo, si

\[y=f(x)=x^{5}+x\]

¿Cuánto vale \(\left(f^{-1}\right)^{\prime}(2)=?\)

Para resolver esta derivada inversa vamos a encontrar la derivada de la función y usar el Teorema de la Función inversa:

\[f^{\prime}(x)=5 x^{4}+1\]

Como 5\(x^{4}\) es siempre mayor o igual a 0, \(f^{\prime}(x)=5 x^{4}+1\) será siempre mayor que 0, lo que garantiza que la función es invertible por el 

Teorema de la Función Inversa

Cuándo \(y=2\):

\[f(x)=2=x^{5}+x \Longrightarrow x=1\]

Ahora, usamos la relación de la derivada de la inversa:

\[f^{\prime}(x)=\frac{1}{\left(f^{-1}\right)^{\prime}(y)} \Longrightarrow f^{\prime}(1)=\frac{1}{\left(f^{-1}\right)^{\prime}(2)} \Longrightarrow\left(f^{-1}\right)^{\prime}(2)=\frac{1}{f^{\prime}(1)}\]

Entonces basta sustituir los valores:

\[\left(f^{-1}\right)^{\prime}(2)=\frac{1}{f^{\prime}(1)}=\frac{1}{5(1)^{4}+1}=\frac{1}{6}\]

Teorema de la Función Inversa (Incompleto)

El Teorema de la Función Inversa nos dice que:

Si \(f(x)\) es derivable y \(f^{\prime}(x) \neq 0\) entonces \(f(x)\) tiene inversa.

¡Pero, su  recíproca es falsa! O sea, ¡es posible tener \(f^{\prime}(x)=0\) y que la función sea invertible!

Del pre-cálculo, tenemos que para que una función sea invertible, o sea, para que tenga una función inversa, ella debe ser biyectiva.

What, biyectiva... ¿qué diablos es eso? Si no lo recuerdas no te preocupes, a continuación haremos un breve repaso.

Funciones Inyectivas

Comencemos hablando de las funciones inyectivas.

La definición es sencilla, básicamente una función \(f\) es inyectiva si para dos puntos cualesquiera pertenecientes al mismo dominio de \(f\):

\[x_{1} \neq x_{2}\]

Tengamos:

\[f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right)\]

O sea, dos valores de x diferentes del dominio retornan valores de \(f(x)\) diferentes. ¿Tranquilo?

Por ejemplo, la función de la figura abajo es inyectiva:

Funciones Sobreyectivas

Las funciones sobreyectivas son aquellas donde la imagen es igual al codominio. ¡Cuidado para no confundirlos!

A no ser que el enunciado del problema diga lo contrario, el codominio de las funciones que vamos a estudiar es el \(\mathbb{R}\).

O sea, para que una función sea sobreyectiva su imagen necesita ser \(\mathbb{R}\), ¿entendido?

Por ejemplo, la función \(f(x)=x^{2}\) no es sobreyectiva, debido a que su imagen no incluye los números negativos.

Por otro lado, la función \(f(x)=x+3\) es sobreyectiva porque su imagen es la misma \(\mathbb{R}\).

Funciones Biyectivas

Las funciones biyectivas son aquellas que son inyectivas y sobreyectivas. ¡Solamente eso!

La función \(f(x)=x+3\) que cité hace poco, por ejemplo, es una función biyectiva, así como cualquier función de primer grado.

Volviendo a lo que interesa…

Repitiendo lo que dije antes: si una función es biyectiva, entonces ella tiene inversa. ¡Y eso es siempre válido!

Generalmente es más conveniente usar el Teorema de la Función Inversa, pero cuando éste falla es así como vamos a resolver el problema.

Ejemplo 1: La función \(f(x)=\frac{1}{2} x^{3}-5\) es invertible en todo el \(\mathbb{R}\)?

Paso 1: Intentar aplicar el Teorema de la Función Inversa

Derivando:

\[f^{\prime}(x)=\frac{3}{2} x^{2}\]

Igualando a cero:

\[f^{\prime}(x)=\frac{3}{2} x^{2}=0\]

\[\Rightarrow x=0\]

¡Mucha calma en este momento! En el punto \(x=0\) encontramos un problema, sin embargo, eso NO garantiza que \(f\) sea invertible para todo \(x \neq 0\).

Eso solamente nos garantiza que, si tenemos algún intervalo que no tenga el 0 y solo sea un intervalo, \(f\) es invertible.

Locura, ¿verdad? Pero es así como funciona.

Paso 2: Determinar si la función es biyectiva

La función \(f\) es bien parecida con la función \(y=x^{3}\), cuyo gráfico es:

Observe que esa función es biyectiva. Es inyectiva, ya que, no tenemos dos valores de \(x\) diferentes que dan un mismo valor de \(y\), y es sobreyectiva porque su imagen es \(\mathbb{R}\).

Ahora veamos la función \(f\). Su gráfico es parecido, la diferencia es que crece más despacio y es desplazado de 5 para abajo:

De la misma forma, podemos ver que la función es:

     \(\bullet\) Inyectiva, debido a que no para de crecer, entonces no vamos a tener dos \(x\) diferentes con el mismo valor de \(f(x)\)

     \(\bullet\) Sobreyectiva, debido a que va de \(-\infty\) a \(+\infty\), o sea, su imagen es el \(\mathbb{R}\)

Entonces, \(f\) es biyectiva si! De este modo, es invertible en todo el \(\mathbb{R}\). Eso resuelve nuestro problema del punto \(x=0\) donde el Teorema de la Función Inversa no era válido.

Normalmente mostrar que es biyección es un poco complicado, pero con práctica conseguimos hacer eso =D

¡Ahora ven conmigo a ver unos ejercicios! :)

Excelente, ¡ahora vamos a los ejercicios!