Derivadas de Funciones Trigonométricas Inversas

Las funciones inversas trigonométricas son:

\[\operatorname{arcsen}(x) ; \arccos (x) ; \operatorname{arctg}(x) ;(\ldots)\]

Vamos a calcular la derivada de la función arco seno, que es la inversa del seno. Observe que podemos escribir:

\[x=seny\]

Entonces para resolver esta derivada vamos a encontrar la derivada del seno

\[x=\operatorname{sen}(y)=f^{-1}(y)\]

\[f^{\prime}(x)=\frac{1}{\left(f^{-1}\right)^{\prime}(y)}=\frac{1}{(\operatorname{sen}(y))^{\prime}}=\frac{1}{\cos (y)}\]

Espera, ahí hay una \(y\). La derivada debe tener una \(x\).

Calma, aquí tenemos que escribir aquel coseno en función de \(x\). ¿Como?

¿Te acuerdas que \({sen}^{2}(y)+\cos ^{2}(y)=1 ?\)

Si cambio \(y\) por \(x\), tendremos

\[x^{2}+\cos ^{2}(y)=1 \Rightarrow \cos (y)=\sqrt{1-x^{2}}\]

Entonces:

\[f^{\prime}(x)=\frac{1}{\cos (y)}=(\operatorname{arcsen} x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\]

Y esa es la manera de encontrar las derivadas de funciones trigonométricas inversas.

Ahora solo debes aprenderte las derivadas de \(\operatorname{arcsen} x, \arccos x\) y \(\operatorname{arctg} x\) y las otras \(3\) (que son menos frecuentes, pero pueden aparecer). Recuerda que puedes llegar a ellas a través del análisis de la derivada inversa:

\[(\operatorname{arcsen} x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} ; \quad(\arccos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} ; \quad(\operatorname{arctg} x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}\]

\[(\operatorname{arccotg} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{2}} ; \quad(\operatorname{arcsec} x)^{\prime}=\frac{1}{|x| \sqrt{x^{2}-1}} ; \quad(\operatorname{arccossec} x)^{\prime}=-\frac{1}{|x| \sqrt{x^{2}-1}}\]

A veces, puedes encontrar los arcos con índice \(−1\):

\[\operatorname{arctg}(x) \rightarrow \operatorname{tg}^{-1}(x)\]

Es la misma cosa. Solo no los confundas con el inverso de la función:

\[\operatorname{arctg}(x)=\operatorname{tg}^{-1}(x) \neq(\operatorname{tg}(x))^{-1}=\frac{1}{\operatorname{tg}(x)}\]

¡Vamos a los ejercicios!