Derivación Logarítmica

Conociendo la derivada implícita, podemos utilizar un método para derivar determinadas funciones que nos ayudan a no necesitar utilizar la Regla del Producto y del Cociente en muchos de los casos, así como nos ayuda para derivar cosas como esta.

Ej: Derive:

\[y=(\operatorname{sen}(x))^{x}\]

Paso 1: Usar el logaritmo de base \(e\) de ambos lados (el famoso \(\ln\));

\[\ln (y)=\ln \left((\operatorname{sen}(x))^{x}\right)\]

Paso 2: Usar propiedades de log para simplificar la función de \(x\);

En este caso, tenemos tres propiedades importantes:

\[\ln (a . b)=\ln (a)+\ln (b)\]

\[\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln (a)-\ln (b)\]

\[\ln \left(a^{b}\right)=b \cdot \ln (a)\]

En este ejemplo, usaremos la tercera propiedad.

\[\ln (y)=x \cdot \ln (\operatorname{sen}(x))\]

Paso 3: Derivamos los dos lados. Para derivar el \(\ln y\) vamos a necesitar usar la derivada implícita. Si no te acuerdas, debemos derivar con relación a \(y\) normalmente y después multiplicar el resultado por \(y^{\prime}\).

\[\left(\frac{1}{y}\right)^{y}=(x)^{\prime}(\ln (\operatorname{sen}(x)))+(x)(\ln (\operatorname{sen}(x)))^{\prime}\]

Para derivar \((\ln (\operatorname{sen} x))\) vamos a tener que usar la regla de la cadena, mira:

\[\left\{\begin{array}{l}{f(x)=\operatorname{sen} x} \\ {g(x)=\ln x}\end{array} \rightarrow \ln (\operatorname{sen} x)=g(f(x)) \therefore(\ln (\operatorname{sen} x))^{\prime}=g^{\prime}(f(x)) f^{\prime}(x)\right.\]

\[(\ln (\operatorname{sen} x))^{\prime}=\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\]

Por lo tanto,

\[\frac{y}{y}=\ln (\operatorname{sen}(x))+\frac{(x) \cos (x)}{\operatorname{sen}(x)}\]

Paso 4: Tienes que aislar \(y^{\prime}\) y sustituir y en la ecuación por la función original;

Observa, tenemos que \(y=(\operatorname{sen}(x))^{x}\). Despejando \(y^{\prime}\) tendremos:

\[y^{\prime}=(\operatorname{sen}(x))^{x}\left(\ln (\operatorname{sen}(x))+\frac{(x) \cos (x)}{\operatorname{sen}(x)}\right)\]

¡Ahí está la derivada!

En ese caso, fue bueno usar la derivada logarítmica porque sería muy trabajoso derivar esa cosa.

Ej: Derive:

\[y=\left(\frac{x(x+2)}{x-3}\right)\]

Paso 1: Logaritmos;

\[\ln (y)=\ln \left(\left(\frac{x(x+2)}{x-3}\right)\right)\]

Paso 2: Propiedades;

Usando la segunda propiedad listada en el Paso 2 del primer ejemplo, tenemos

\[\ln (y)=\ln \left(\left(\frac{x(x+2)}{x-3}\right)\right)=\ln (x(x+2))-\ln (x-3)\]

Ahora usando la primera propiedad del paso 2 del ejemplo anterior, tenemos

\[\ln (y)=\ln (x)+\ln (x+2)-\ln (x-3)\]

Paso 3: Deriva

\[(\ln (y))^{\prime}=(\ln (x)+\ln (x+2)-\ln (x-3))^{\prime}\]

\[\left(\frac{1}{y}\right) y^{\prime}=(\ln (x))^{\prime}+(\ln (x+2))^{\prime}-(\ln (x-3))^{\prime}\]

\[\frac{y^{\prime}}{y}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-3}\right)\]

Paso 4: “Des-sustituir” \(y\);

\[y^{\prime}=\left(\frac{x(x+2)}{x-3}\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-3}\right)\]

Después, si prefieres, solo debes hacer la distributiva, pero el resultado ya está ahí.

Usar la derivación logarítmica aquí es bueno porque no necesitamos derivar esa cosa con la Regla del Producto y la del Cociente, que probablemente, terminarían en cuentas más grandes y trabajosas.

Derivación por propiedad exponencial

Existe otro método, que no requiere derivada implícita, para derivar funciones como la del ejemplo inicial. Dejamos para comentar esto en este capítulo por semejanza en los dos métodos.

¡Usaremos solamente la Regla de la Cadena!

Existe una propiedad de exponenciales y logaritmos de misma base que dice:

\[a=e^{\ln (a)}\]

O sea, cualquier cosa es igual a la exponencial del log de esa cosa. En el ejemplo dado en el inicio del capítulo, resolveríamos el problema de esta manera:

Paso 1: Usar que \(f(x)=e^{\ln (f(x))}\);

\[y=(\operatorname{sen}(x))^{x}=e^{\ln \left((\operatorname{sen}(x))^{x}\right)}\]

Paso 2: Use la propiedad del exponente de \(ln\) (la tercera que mostramos);

\[y=e^{\ln \left((\operatorname{sen}(x))^{x}\right)}=e^{(x)(\ln (\operatorname{sen}(x)))}\]

Paso 3: Derivamos por la Regla de la Cadena;

\[y^{\prime}=\left(e^{(x)(\ln (\operatorname{sen}(x)))}\right)\]

\[=\left(e^{(x) \ln (\operatorname{sen}(x)) )}\right)((x)(\ln (\operatorname{sen}(x))))^{\prime}\]

Derivamos usando regla del producto y de la cadena, obteniendo

\[=\left(e^{(x)(\ln (\operatorname{sen}(x)))}\right)\left(\ln (\operatorname{sen}(x))+\frac{(x) \cos (x)}{\operatorname{sen}(x)}\right)\]

Paso 4: Revertir la sustitución de la exponencial;

Así como \((\operatorname{sen}(x))^{x}=e^{\ln \left((\operatorname{sen}(x))^{x}\right.}\), podemos volver diciendo que:

\[e^{(x)(\ln (\operatorname{sen}(x)))}=\left((\operatorname{sen}(x))^{x}\right)\]

Así, quedamos con:

\[y^{\prime}=\left(e^{(x)(\ln (\operatorname{sen}(x)))}\right)\left(\ln (\operatorname{sen}(x))+\frac{(x) \cos (x)}{\operatorname{sen}(x)}\right)\]

\[=(\operatorname{sen}(x))^{x}\left(\ln (\operatorname{sen}(x))+\frac{(x) \cos (x)}{\operatorname{sen}(x)}\right)\]

Este es más tedioso, ¿verdad? ¿O en el otro hay que tener más cuidado?

Eso es cuestión de opinión, derivar con uno o con el otro depende de tu preferencia. En los ejercicios trabajaremos los dos, ¡decide cual te parece mejor!