Derivada de Orden Superior – Patrones de Derivación

Vamos a recordar cómo se hace la derivada de orden superior

La segunda derivada de una función es la derivada de su derivada:

\[f^{\prime \prime}(x)=\left(f^{\prime}(x)\right)^{\prime}\]

Para la derivada tercera es lo mismo:

\[f^{\prime \prime \prime}(x)=\left(f^{\prime \prime}(x)\right)^{\prime}=\left(\left(f^{\prime}(x)\right)^{\prime}\right)^{\prime}\]

Para las próximas órdenes solo debemos continuar derivando.

Existe una serie de funciones que tienen patrones de acuerdo con el orden de sus derivadas, y es eso que veremos a continuación. 

Patrón de derivación: seno

Derivamos el seno:

\[(\operatorname{sen}(x))^{\prime}=\cos (x)\]

Sus derivadas segunda, tercera y cuarta pueden ser encontradas:

\[(\operatorname{sen}(x))^{\prime \prime}=(\cos (x))^{\prime}=-\operatorname{sen}(x)\]

\[(\operatorname{sen}(x))^{\prime \prime \prime}=(-\operatorname{sen}(x))^{\prime}=-\cos (x)\]

\[(\operatorname{sen}(x))^{(4)}=(-\cos (x))^{\prime}=\operatorname{sen}(x)\]

¿Eso quiere decir que la cuarta derivada del seno es sí mismo? Entonces, eso significa que habrá un patrón de 4 en 4 derivadas. Para calcular la derivada de grado \(N\), tendremos:

\[(\operatorname{sen}(x))^{(k)}=\left\{\begin{array}{r}{-\operatorname{sen}(x), \quad \text { ..... } k=4 n+2 \text { para } n \in N}\\{-\operatorname{cos}(x), \quad \text {.........} k=4 n+3 \text { para } n \in N} \\ {\operatorname{sen}(x), \quad \text { ............. } k=4 n \text { para } n \in N} \\ {\operatorname{cos}(x), \quad \text { ....... } k=4 n+1 \text { para } n \in N}\end{array}\right.\]

Donde \(\mathbb{N}\) es el conjunto de los números naturales \((0,1,2,3,…)\)

Esa fórmula rara dice que las derivadas van “caminando” en bloques de 4 derivadas secuenciales. El primero de cada bloco será \((\cos (x))\), depois \((-\operatorname{sen}(x))\) y así sucesivamente.

Patrón de derivación: coseno

La definición va a ser muy parecida con la del seno aquí, vamos en bloques de 4 también en las derivadas:

\[(\cos (x))^{\prime}=(-\operatorname{sen}(x))\]

Sus derivadas segunda, tercera y cuarta pueden ser encontradas:

\[(\cos (x))^{\prime \prime}=(-\operatorname{sen}(x))^{\prime}=-\cos (x)\]

\[(\cos (x))^{\prime \prime \prime}=(-\cos (x))^{\prime}=\operatorname{sen}(x)\]

\[(\cos (x))^{(4)}=(\operatorname{sen}(x))^{\prime}=\cos (x)\]

Para calcular la derivada de grado \(N\) del coseno, tendremos:

\[(\operatorname{cos}(x))^{(k)}=\left\{\begin{array}{r}{-\operatorname{sen}(x), \quad \text { ....... } k=4 n+1 \text { para } n \in N}\\{-\operatorname{cos}(x), \quad \text {.........} k=4 n+2 \text { para } n \in N} \\ {\operatorname{sen}(x), \quad \text { ........ } k=4 n+3 \text { para } n \in N} \\ {\operatorname{cos}(x), \quad \text { ............. } k=4 n \text { para } n \in N}\end{array}\right.\]

Patrón de derivación: logaritmo

Vamos derivando el \(\ln (x)\) hasta encontrar un patrón:

\[f(x)=\ln (x)\]

\[f^{\prime}(x)=(\ln (x))^{\prime}=\frac{1}{x}=(x)^{-1}\]

\[f^{\prime \prime}(x)=\left((x)^{-1}\right)^{\prime}=(-1)(x)^{-2}\]

\[f^{\prime \prime \prime}(x)=\left((-1)(x)^{-2}\right)^{\prime}=(-1)(-2)(x)^{-3}\]

\[f^{(4)}(x)=\left((-1)(-2)(x)^{-3}\right)^{\prime}=(-1)(-2)(-3)(x)^{-4}\]

Primero, vamos a ver la potencia de \(x\): Aparecía un exponente igual a su orden pero con un \(−\), ¿correcto?

Segundo, ¿observas que empieza a aparecer una multiplicación de todos los términos anteriores al grado de la derivada? O sea, es como si tuviéramos un factorial hasta el número anterior al orden de la derivada.

\[(n-1) !\]

Por fin, tenemos que pensar en el patrón de los signos de menos. En la segunda derivada teníamos un \(−\), en la tercera teníamos dos, en la cuarta tres. O sea, es como si fuera:

\[(-1)^{n-1}\]

¿Tiene sentido? Ahora, la n-ésima derivada del logaritmo va a ser la junción de estos tres patrones que encontramos:

\[(\ln (x))^{(n)}=(-1)^{n-1}(n-1) ! x^{-n}\]

Patrón de derivación: exponencial

Amigo, ¿cuál es la derivada de \(e^{x}\)?

\[f^{\prime}(x)=\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}\]

Pero, si su derivada es él mismo, entonces, ¡siempre lo tendremos como resultado! Su n-ésima derivada será:

\[\left(e^{x}\right)^{n}=e^{x}\]

¿Qué puede complicarse? ¡Si hay una constante dentro de la exponencial!

\[\left(e^{k x}\right)^{\prime}=k e^{k x}\]

\[\left(k e^{k x}\right)^{\prime}=k^{2} e^{k x}\]

\[\left(k^{2} e^{k x}\right)^{\prime}=k^{3} e^{k x}\]

Observa que a cada grado de derivada aparecería más un \(k\), o sea:

\[\left(e^{k x}\right)^{(n)}=k^{n} e^{k x}\]

OBS: Para bases diferente de \(e\), la derivada es,

\[\left(a^{x}\right)^{\prime}=\ln (a) a^{x}\]

En ese caso, la n-ésima derivada sería:

\[\left(a^{x}\right)^{(n)}=(\ln (a))^{n} a^{x}\]