Derivadas Laterales

Así como tenemos límites laterales, las funciones también poseen derivadas laterales. Mira el siguiente gráfico:

Esa función es dada por:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{c}{x^{2}, x<0} \\ {\operatorname{sen}(x), x \geq 0}\end{array}\right.\]

¿Cómo derivamos \(f\) en \(x=0\)? Necesitamos de un análisis lateral de esa derivada, que puede ser hecho de dos formas.

\((1)\) Continuidad + Derivación de funciones:

Una vez que sepas que la función es continua en el punto estudiado, (debes mostrar eso en el problema, ¿ok?) puedes derivar los términos de los dos lados y ver si ambos tienen el mismo valor.

Así, calculamos las derivadas laterales derivando las funciones de cada uno de los lados.

Comenzando para la izquierda de \(0\):

\[f^{\prime}\left(x^{-}\right)=\left(x^{2}\right)^{\prime}=2 x \Longrightarrow f^{\prime}\left(0^{-}\right)=2(0)=0\]

Ahora lo hacemos por la derecha de \(0\):

\[f^{\prime}\left(x^{+}\right)=(\operatorname{sen}(x))^{\prime}=\cos (x) \Longrightarrow f^{\prime}\left(0^{+}\right)=\cos (0)=1\]

\((2)\) Definición de la derivada en el punto:

Aplicamos la definición de la derivada en el punto, por límite, y calculamos lateralmente los límites. Por ejemplo, por la izquierda tenemos:

\[\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x^{2}-0}{x-0}=0\]

Por la derecha, tenemos:

\[\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\operatorname{sen}(x)-0}{x-0}=1\]

La derivada lateral de la derivada analizada de cada lado del que aproximamos un punto.

Cómo calcular la derivada usando límite puede no ser tan sencillo, siempre opte por el primer método, a no ser que el problema pida por la definición.

¡Ahora vamos a practicar!