Diferenciabilidad de Funciones Definidas a Trozos

En esta ocasión hablaremos sobre aquellas funciones que no siguen un orden o algoritmo: ¿son continuas? ¿cómo se derivan?

Veamos un ejemplo:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{lc}x^{2}+6 x+5, & x<-2 \\ x-1, & 1>x \geq-2 \\ \frac{x^{2}-1}{2}, & x \geq 1\end{array}\right.\]

Para derivar las funciones, necesitamos que estas sean diferenciables. ¡Este es el asunto del problema!

Si las funciones dadas son continuas dentro de sus dominios, podemos derivar expresión por expresión, pero faltará analizar los puntos en que la función cambia de algoritmo (ley de formación). En el ejemplo, esto ocurre en \(x=-2\) y \(x=1\).

Si aplicas la definición de continuidad, verás que las función del ejemplo siempre es continua. Siendo así, podemos usar las derivadas laterales. Primero tenemos que derivar:

\[\left(x^{2}+6 x+5\right)^{\prime}=2 x+6 ; \quad(x-1)^{\prime}=1 ; \quad\left(\frac{x^{2}-1}{2}\right)^{\prime}=x\]

Luego, verificamos las derivadas laterales:

\[f^{\prime}\left(-2^{-}\right)=2(-2)+6=2\]

\[f^{\prime}\left(-2^{+}\right)=1\]

La derivadas no son iguales. Entonces, la función no es derivable en \(x=-2\). Verificando \(x=1\):

\[f^{\prime}\left(1^{-}\right)=1\]

\[f^{\prime}\left(1^{+}\right)=x=1\]

En \(x=1\), las derivadas son iguales, entonces será diferenciable en dicho punto, siendo \(f^{\prime}(1)=1\).

Juntando todas las conclusiones, tendremos:

\[f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{cc}{2 x+6} & {, \quad x<-2} \\ { \text { No existe }} & {, \quad x=-2} \\ {1} & {, \quad 1>x>-2} \\ {1} & {, \quad x=1} \\ {x} & {, \quad x>1}\end{array}\right.\]

\(\geq\) y \(\leq\) fueron sustituidos por \(>\) y \(<\), y describimos puntualmente la derivada donde \(f\) cambia su formación. 

Derivando el módulo

A continuación veremos la derivada de la función de valor absoluto, como por ejemplo:

\[f(x)=\left|x^{2}-4\right|\]

¿Cómo podemos derivar esa función?

Primero necesitamos retirar el módulo para poder trabajar con funciones que sabemos derivar.

¿Cómo quitamos las barras? Simplemente debemos recordar la definición del módulo. Es decir, el módulo vale lo mismo cuando es mayor que cero, y su opuesto cuando es menor que cero.

\[f(x)=\left|x^{2}-4\right|=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-4, x<-2 ; x \geq 2 \\ -\left(x^{2}-4\right), \space -2 \leq x<2\end{array}\right.\]

El argumento del módulo será mayor que cero cuando:

En los puntos donde hay un cambio de función, \(x=-2\) y \(x=2\), tenemos la raices de \(f(x)\). De esa manera, podemos derivar la función que está entre los dos dominios (en \(x<-2 ; x \geq 2\) y en \(-2 \leq x<2\)), tiendo cuidado de usar la definición de la derivada para observarla en los puntos de cambio en la ley de formación de \(f\).

Empezando por estos puntos, buscamos:

\[\lim _{x \rightarrow-2} \frac{(f(x)-f(-2))}{x-(-2)} ; \lim _{x \rightarrow 2} \frac{(f(x)-f(2))}{x-(2)}\]

Calculando los dos, hallaremos que sus limites laterales no son iguales.

\[\lim _{x \rightarrow-2^{-}} \frac{(f(x)-f(-2))}{x-(-2)}=-4 ; \lim _{x \rightarrow-2^{+}} \frac{(f(x)-f(-2))}{x-(-2)}=4\]

\[\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{(f(x)-f(2))}{x-(2)}=-4 ; \lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{(f(x)-f(2))}{x-(2)}=4\]

Vemos que en los “picos” que la función genera en su gráfico (mira el gráfico de la función) esta no tiene derivada.

Importantísimo: siempre que tengamos un punto de cambio de la ley de formación de la función de valor absoluto generando un “pico”, es decir, con las derivadas laterales diferentes de \(0\), la derivada no existirá en ese punto.

Funciones definidas en un punto

En ocasiones el enunciado te da una función del tipo:

\[f(x)=\left\{\begin{array}{c}\operatorname{sen}(2 x), x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.\]

Que cambia de expresión en \(x=0\).

Cuando te encuentres con uno de estos casos, solo tienes que verificar la continuidad de la función en el punto en que cambia de expresión. Si es continua en ese punto, también será derivable; y como la otra expresión es derivable, \(f\) siempre será derivable en todo el lugar.

¡Vamos a los ejercicios!