Cálculo del Centro de Gravedad

Ahora estudiemos el centro de gravedad y cómo calcularlo.

 

La fuerza gravitatoria que actúa sobre un cuerpo es la suma vectorial de las fuerzas gravitacionales que actúan sobre todos los elementos del cuerpo. ¿Y eso qué significa?

 

Mira la figura de abajo.

 

 

Imagine que cada “átomo” del cuerpo tiene una fuerza gravitatoria asociada. Sumando todas esas fuerzas gravitacionales de todos los elementos del cuerpo, podemos llegar a la siguiente figura:

 

  • \[x_{c g}\] Es el centro de gravedad, es decir, el punto en el que actúa esa fuerza.

 

  • \[\overrightarrow{F_{g}}\] es la fuerza gravitatoria en el cuerpo

 

La gran ventaja de esto es que si reemplazamos todas las fuerzas gravitacionales de cada elemento por esa fuerza gravitatoria del cuerpo, la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo no cambia.

 

¡Cool! ¿Pero cómo calculo el centro de gravedad?

 

La fórmula es la siguiente:

 

\[\vec{R}_{c g} P_{t o t a l}=\sum_{i} \vec{R}_{i} P_{i}\]

 

¿Hey, espera? ¿Qué quiere decir esa fórmula?

 

Bien! Estamos yendo demasiado rápido. Trataré de explicártelo aquí.

 

El peso resultante del centro de gravedad es igual a la sumatoria de todos los pesos que actúan sobre el cuerpo.

 

\[P_{\text {total}} \vec{r}_{C G}=P_{1} \overrightarrow{r_{1}}+P_{2} \overrightarrow{r_{2}}+P_{3} \overrightarrow{r_{3}}+\ldots\]

 

¿Te ha quedado un poco más claro? Estoy tomando todos los pesos de las masas \[m_{i}\] del cuerpo y sumando de acuerdo a sus respectivas distancias \[r_{i}\] .

 

Dividiendo por el peso total \[P_{\text {total}}\] del cuerpo, descubrimos el punto del centro de gravedad. Entonces, si quiero levantar ese cuerpo,¡es más eficiente que apunte una fuerza en esa dirección!

 

Centro de Masa vs Centro de Gravedad

 

El centro de masa tiene la misma idea que el centro de gravedad.

 

Sólo que como su propio nombre dice, el centro de masa está influenciado sólo por la masa y no por el peso.

 

La lógica es la siguiente:

 

\[\vec{r}_{C M}=\frac{\vec{r}_{1} \cdot m_{1}+\vec{r}_{2} \cdot m_{2}+\vec{r}_{3} \cdot m_{3}+\ldots}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\ldots}\]

 

Podemos notar que cuando la gravedad es constante, el centro de masa del objeto coincide con el centro de gravedad, ya que la \[g\] será sacada de la fórmula del centro de gravedad.

 

Separando en ejes

 

En algunos casos, el problema puede pedir o puede ser más fácil trabajar con ejes en lugar de trabajar con vector.

 

\[x_{C G}=\frac{x_{1} \cdot p_{1}+x_{2} \cdot p_{2}+x_{3} \cdot p_{3}+\ldots}{p_{1}+p_{2}+p_{3}+\ldots}\]



\[y_{C G}=\frac{y_{1} \cdot p_{1}+y_{2} \cdot p_{2}+y_{3} \cdot p_{3}+\ldots}{p_{1}+p_{2}+p_{3}+\ldots}\]

 

Cool! Vamos a los ejercicios?