Introducción a las Integrales

La Integral como área

Este es un capítulo muy importante para entender el concepto de Integrales.

Básicamente, una integral representa el valor de un área. Hay áreas que pueden ser calculadas de forma sencilla, como esta:

Sin embargo, no debes tener idea de cómo calcular el área de esto:

En este caso, queremos calcular el área \(A\) de la siguiente función: \(f(x)=x^{2}\) entre \(x=0,6\)  y \(x=1,4\).

Podemos estimar el área \(A\), calculando un área aproximada, usando rectángulos del siguiente modo:

Se puede notar que la suma de las áreas de los rectángulos es menor que el área azul \(A\) (observe las sobras de los rectángulos).

Podemos, con los rectángulos, encontrar una estimación para arriba (mayor que \(A\)), así:

Ahora, puedo ver que la primera estimación es menor que el resultado correcto del área y la última es mayor.

Observa los siguiente gráficos

Entiende esto: ¿estás de acuerdo que el espacio entre el gráfico y los rectángulos disminuye mucho a medida que yo aumento el número de rectángulos? La idea es que, si pongo infinitos rectángulos, tendré el área exacta de \(A\). Por lo tanto, la suma de los \(n\) rectángulos es denotada por \(S_{n}\) y por lo que expliqué:

\[A=S_{n}\]

La integral va a tener exactamente esa idea: partir el eje \(x\) en pedacitos, trazar rectángulos y sumar el área de esos rectángulos. A medida que aumentamos el número de rectángulos, nos aproximamos más al área. Así, escribimos lo siguiente

\[ A=S_{n}=\int_{0,6}^{1,4} x^{2} d x \]

Donde \(S_{n}\) es la suma de esos rectángulos, esa suma es la Suma de Riemann.

Estamos integrando \(x^{2} \operatorname{de} 0,6\) a \(1,4\) eso es lo que significa esta notación, lo de abajo es el inicio del intervalo, en ese caso el \(0,6\). Lo de arriba es el final del intervalo, en el caso \(1,4\).

Notación

Vamos a entender esta notación de integral de forma más general:

\[\int_{a}^{b} f(x) d x\]

\(f(x)\) es llamado integrando que es la función que queremos del área

\(a\) es el límite inferior, que es donde comienza el intervalo que queremos del área

\(b\) es el límite superior, que es donde termina el intervalo que queremos del área;\(d x\) muestra que estamos integrando en la variable \(x\) (si fuera \(d t\), por ejemplo, estaríamos integrando en \(t\)).

La Integral Definida resulta en un número, un valor. Esa integral ocurre cuando los límites de integración son números también, es decir, en la mayoría de los casos.

\[\int_{a}^{b} f(x) d x\]

Signos de la Integral

Esta es una parte tranquila del tema que puede llegar a ser problemática si no está bien clara. La integral representa, como ya hablamos, un área. Ahora bien, ella es algo como un área "negativa" si está debajo del eje \(x\). Vea bien:

¡Las integrales pueden tener valores positivos y negativos! ¡Cuando la función está por debajo del eje \(x\), la integral es negativa! ¡Cuando la función está por encima del eje x, la integral es positiva! Por lo tanto, debemos tener cuidado si queremos calcular áreas y no integrales. Por ejemplo: 

\[\int_{a}^{c} f(x) d x>0 \rightarrow A_{r o s a}=\int_{a}^{c} f(x) d x\]

\[\int_{c}^{b} f(x) d x<0 \rightarrow A_{a z u l}=-\int_{c}^{b} f(x) d x\]

Observe:

\[\int_{a}^{b} f(x) d x=A_{r o s a}-A_{a z u l} \space \text { y no } \space A_{r o s a}+A_{a z u l}\]