Integrales y Problema de Valor Inicial

¿Qué es un Problema de Valor Inicial?

Un problema de valor inicial casi siempre tiene la forma:

\[\left\{\begin{array}{c}{\frac{d y}{d x}=2 x+1} \\ {y(0)=5}\end{array}\right.\]

Y pide la expresión de \(y\). Es decir, tenemos:

      \(\bullet\) La expresión para la derivada.

      \(\bullet\) El valor de la función en un punto.

Y queremos la expresión de la función.

Resolviendo un Problema de Valor Inicial

Vamos a resolver el problema del valor inicial, o PVI, que acabamos de ver:

\[\left\{\begin{array}{c}{\frac{d y}{d x}=2 x+1} \\ {y(0)=5}\end{array}\right.\]

Queremos \(y(x)\), y tenemos su derivada:

\[\frac{d y}{d x}=y^{\prime}(x)=2 x+1\]

Para encontrar \(y(x)\), tenemos que hacer la operación inversa de la derivación, es decir, integrar.

Primero, dejemos cada infinitesimal en un lado de la ecuación:

\[\frac{d y}{d x}=2 x+1 \Longrightarrow d y=(2 x+1) d x\]

Ahora aplicamos la integral en cada lado:

\[d y=(2 x+1) d x \Longrightarrow \int d y=\int(2 x+1) d x\]

Veamos cada integral por separado. La de la izquierda dará:

\[\int d y=\int 1 \cdot d y=y+C_{1}\]

¡No olvides la constante!

Y la integral de la derecha es:

\[\int(2 x+1) d x=x^{2}+x+C_{2}\]

Sustituyendo:

\[y+C_{1}=x^{2}+x+C_{2}\]

Despejando \(y\):

\[y=x^{2}+x+C_{2}-C_{1}\]

Para efectos prácticos, podemos decir que \(C_{2}-C_{1}\) es \(C\):

\[y(x)=x^{2}+x+C\]

Vea que ya tenemos una expresión general para \(y\). Para llegar al resultado final, utilizamos la segunda información del problema: el valor inicial:

\[y(0)=5\]

En este punto tenemos:

\[y(0)=0^{2}+0+C=5\]

\[C=5\]

Sustituyendo, obtenemos:

\[y(x)=x^{2}+x+5\]

Es decir, el valor de \(y\) en un punto sirve precisamente para identificar el valor constante de la expresión encontrada que satisface las condiciones del problema.

¡Vamos a la sección de ejercicios para seguir practicando!