Sustitución Simple

Ya hemos visto que para calcular integrales necesitamos conocer las primitivas de las funciones. Pero, ¿y si te pido que resuelvas esta integral? ¿Cómo la calculas?

 

\[\int x^{2} \sqrt{5+x^{3}} d x\]

 

 

¿Un poco complicado verdad? ¡Pero relájate, aquí es donde entra la hermosa y maravillosa sustitución simple!

 

Simplemente sigues los pasos:

 

Paso 1: Identifique dentro de la integral una parte que es derivada de la otra o que solo difiere de su derivada por constantes.

 

\[\left(5+x^{3}\right)^{\prime}=3 x^{2}\]

 

Solo es diferente de otra parte de la integral \(\left(x^{2}\right)\), por el \(3\) que está multiplicando antes. ¡Esta es una buena señal de que usar una sustitución simple es válido!

 

Paso 2: Cambio de variable: la parte que se derivará es llamada \(u\).

 

\[u=5+x^{3}\]

 

Paso 3: Encontrar el diferencial \(d u\).

 

\[d u=3 x^{2} d x\]

 

Paso 4: Manipular la expresión de \(d u\) para que se vea igual a una parte de la integral.

 

\[x^{2} d x=\frac{1}{3} d u\]

 

Paso 5: Sustituir las partes en \(x\) por sus contrapartes en \(u\).

 

\[\int x^{2} \sqrt{5+x^{3}} d x \rightarrow \int \frac{1}{3} \sqrt{u} d u\]

 

Paso 6: Comprobar si no sobró una \(x\) en la integral. En ese caso, ¡felicidades! Si sobró, te equivocaste en la sustitución, ¡regresa!

 

En este caso, lo hicimos bien, no sobró ninguna \(x\).

 

Paso 7: Resolver la integral en \(u\) normalmente.

 

\[\int \frac{1}{3} \sqrt{u} d u=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3} \cdot u^{\frac{3}{2}}\right)+C=\frac{2}{9} \sqrt{u^{3}}+C\]

 

Paso 8: Sustituir \(u\) por su correspondiente en \(x\) (¡“DES-sustituir!”)

\[\frac{2}{9} \sqrt{u^{3}}+C=\frac{2}{9} \sqrt{\left(5+x^{3}\right)^{3}}+C\]

 

¡Listo! Integral resuelta correctamente! 😄

 

Existen diferentes ocasiones para utilizar el método de sustitución simple: lo que llamamos \(u\) puede ser:

 

\(\bullet\) Argumento de una función trigonométrica

 

\(\bullet\) La propia función trigonométrica

 

\(\bullet\) Función exponencial o su argumento

 

\(\bullet\) Función logarítmica o su argumento

 

\(\bullet\) Etc.

 

Lo importante es identificar un término que sea derivado de otro menos una constante.

 

Por ejemplo, en esta integral:

 

\[\int \cos \left(x^{5}\right) 5 x^{4} d x\]

 

Está claro que \(5 x^{4}\) es la derivada de \(x^{5}\), ¿verdad? Entonces el \(u\) será el mismo:

 

\[u=x^{5} \rightarrow d u=5 x^{4} d x\]

 

Del resto, sólo debes resolver como lo hicimos hace poco.

 

Veamos otro:

 

\[\int e^{[\cos (x)+2]} \operatorname{sen}(x) d x\]

 

En este haremos

 

\[u=\cos (x)+2 \rightarrow d u=-\operatorname{sen}(x) d x\]

 

\[\operatorname{sen}(x) d x=-d u\]

 

¿Cómo calcular integrales definidas usando el método de sustitución?

 

Volviendo al ejemplo que vimos al principio, haciendo ahora la integral definida:

 

\[\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{5+x^{3}} d x\]

 

Hay dos formas:

 

Forma 1: calcular la integral indefinida y luego usar el Teorema Fundamental del Cálculo.

 

Hemos visto que

 

\[\int x^{2} \sqrt{5+x^{3}} d x=\frac{2}{9} \sqrt{\left(5+x^{3}\right)^{3}}+C\]

 

Entonces

 

\[\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{5+x^{3}} d x=\left.\frac{2}{9} \sqrt{\left(5+x^{3}\right)^{3}}\right|_{0} ^{1}=\frac{2}{9} \sqrt{6^{3}}-\frac{2}{9} \sqrt{5^{3}}\]

 

Forma 2: Calcular \(u\) directamente, sin necesidad de regresar al \(x\).

¡Solo tenemos que ajustar los límites de integración de acuerdo con nuestra sustitución!

 

Los límites de integración son \(0\) y \(1\), y tenemos \(u=5+x^{3}\):

 

\[x=0 \rightarrow u=5+0^{3}=5\]

 

\[x=1 \rightarrow u=5+1^{3}=6\]

 

Por tanto, la integral es:

 

\[\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{5+x^{3}} d x=\int_{5}^{6} \frac{1}{3} \sqrt{u} d u\]

 

Resolviendo:

 

\[\int_{5}^{6} \frac{1}{3} \sqrt{u} d u=\left.\frac{2}{9} \sqrt{u^{3}}\right|_{5} ^{6}=\frac{2}{9} \sqrt{6^{3}}-\frac{2}{9} \sqrt{5^{3}}\]

 

¡Encontramos el mismo resultado a través de las dos formas!

 

¡Vamos a los ejercicios!

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