Propiedades de las Integrales

Existen algunas propiedades de las integrales que son bastante importantes y es esencial que estén en la sangre, porque tendrás que usarlas todo el tiempo. ¡Pero no te preocupes, son relaciones muy simples y, por lo tanto, estarás usándolas sin sentir!

 

Propiedad 1:

 

Esta propiedad dice que la integral de la suma o de la resta de funciones es la suma o la resta de las integrales:

 

\[\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] d x=\int_{a}^{b} f(x) d x \pm \int_{a}^{b} g(x) d x\]

 

Por ejemplo:

 

\[\int_{0}^{1} \cos \cos x+e^{x} d x=\int_{0}^{1} \cos \cos x d x+\int_{0}^{1} e^{x} d x\]

 

Propiedad 2: 

 

La integral de una función que está siendo multiplicada por una constante es igual a la integral de esa función multiplicada por la constante:

 

\[\int_{a}^{b} c f(x) d x=c \int_{a}^{b} f(x) d x,  \text { donde } c \text{ es }\text { uma constante cualquiera }\]

 

En otras palabras, la constante puede ser puesta “para fuera” de la integral. Mira un ejemplo de eso

 

\[\int_{0}^{1} 3 \cos \cos x d x=3 \int_{0}^{1} \cos \cos x d x\]

 

Propiedad 3:

 

Cuando una integral tiene límites superior e inferior iguales su resultado es nulo:

 

\[\int_{a}^{a} f(x) d x=0\]

 

Propiedad 4:

 

La integral de una función constante,\(f(x)=c\) es dada por:

\[\int_{a}^{b} c d x=c(b-a), \text { donde } c \text { es} \text { una constante cualquiera }\]

 

Si \(\mathrm{c}>0\), observe que la integral es el área \(A\). Como esa área es un rectángulo tendremos que:

 

\[\int_{a}^{b} c d x=A=c(b-a)\]

 

Si \(c<0\), la integral representa el inverso del área, o sea:

 

 

\[\int_{a}^{b} c d x=-A=-c(b-a)\]

 

Ejemplo:

 

 

\[A=2 \cdot 3=6\]

 

Como \(f(x)=-3\) está abajo del eje \(x\), tenemos:

 

\[\int_{2}^{4}-3 d x=-A=-6\]

 

Propiedad 5: 

 

Al cambiar los límites de integración inferior y superior, hay que cambiar el signo de la integral:

 

\[\int_{a}^{b} f(x) d x=-\int_{b}^{a} f(x) d x\]

 

Por ejemplo

 

\[\int_{0}^{1} \cos x d x=-\int_{1}^{0} \cos x d x\]

 

Propiedad 6:

 

\[\int_{a}^{b} f(x) d x+\int_{b}^{c} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x\]

 

Para recordar esta propiedad, piensa en la interpretación de la integral como área:

 

 

\[A_{1}+A_{2}=A_{\text {total}}\]

 

\[\int_{a}^{b} f(x) d x=A_{1}\]

 

\[\int_{b}^{c} f(x) d x=A_{2}\]

 

\[\int_{a}^{c} f(x) d x=A_{t o t a l}\]

 

Lo más importante es que esta propiedad no depende de que \(a\), \(b\) y \(c\) estén en orden, es decir, no importa que \(c\) sea mayor que \(b\). Si \(b\) es mayor que \(c\), la propiedad sigue siendo válida. Vea este ejemplo:

 

\[\int_{0}^{1} \cos x d x-\int_{2}^{1} \cos x d x= \int_{0}^{1} \cos x d x-\left(-\int_{1}^{2} \cos x d x\right)=\int_{0}^{1} \cos x d x+\int_{1}^{2} \cos x d x\]

 

\[\int_{0}^{1} \cos x d x-\int_{2}^{1} \cos x d x=\int_{0}^{2} \cos x d x\]

 

Propiedad 7: 

 \[\text { Si } f(x) \geq 0 \text { para } a \leq x \leq b, \text { entonces } \int_{a}^{b} f(x) d x \geq 0\]

 

\[\text { Si } f(x) \leq 0 \text { para } a \leq x \leq b, \text { entonces } \int_{a}^{b} f(x) d x \leq 0\]

 

Para recordar esta propiedad, también es más fácil recordar la interpretación como área.

 

     \(\bullet\) Si \(f(x)\) es siempre mayor que cero en el intervalo \([a, b]\), entonces la integral será siempre igual al área de la región delimitada en aquel intervalo. ¡Recuerda que el área es siempre un número positivo!

 

     \(\bullet\) Por otro lado, si \(f(x)\) es siempre menor que cero en aquel intervalo, la integral será siempre igual al simétrico del área delimitada en aquel intervalo. ¡Como el área siempre es un número positivo, entonces la integral será un número negativo!

 

Propiedad 8:

 

\[\text { Si } f(x) \geq g(x) \text { para } a \leq x \leq b, \text { entonces} \int_{a}^{b} f(x) d x \geq \int_{a}^{b} g(x) d x\]

 

Nuevamente, pensando en la integral como área, si \(f(x)\) está siempre arriba de \(g(x)\) en el intervalo \([a, b]\), entonces el área delimitada por la función\(f(x)\) en aquel intervalo será mayor que aquella delimitada por la función \(g(x)\) en el mismo intervalo!

 

Propiedad 9:

 

Para llegar a esta propiedad, voy a sacar un concepto del fondo del baúl. En el Teorema del Valor Extremo, sabemos que toda función continua en un intervalo cerrado tiene un máximo y un mínimo absolutos en aquel intervalo cerrado.

 

Entonces, si tenemos una función \(f(x)\) en un intervalo cerradon\([a, b]\) y sabiendo que el mínimo absoluto de esa función es \(m\) y el máximo es \(M\), mira lo que tenemos:

 

\[m \leq f(x) \leq M, \operatorname{para todo a} \leq x \leq b\]

 

Voy a representar eso en un gráfico, para que pensemos en la integral nuevamente con la interpretación del área.

 

 

Observe que el área rayada es igual a:

 

\[A=m(b-a) \text { (área de rectángulo)}\]

 

Por lo tanto sabiendo que la integral de \(f(x)\) en el intervalo \([a, b]\) corresponde al área abajo de ella y que \(f(x)\) es siempre mayor o igual a \(m\) en ese intervalo, podemos escribir lo siguiente:

 

\[\int_{a}^{b} f(x) d x \geq m(b-a)\]

 

De la propiedad \(8\), sabemos que:

 

\[\text {Si } g(x) \geq f(x) \text { para } a \leq x \leq b, \text { entonces } \int_{a}^{b} g(x) d x \geq \int_{a}^{b} f(x) d x\]

 

En este caso, imaginemos \(g(x)\) como \(M\):

 

\[M(b-a) \geq \int_{a}^{b} f(x) dx\]

 

Agrupando ambas cosas, tendremos:

 

\[\text { Si } m \leq f(x) \leq M, \text { para todo } a \leq x \leq b \rightarrow m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) d x \leq M(b-a)\]

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