Teorema Fundamental del Cálculo – Integral Definida

Gracias a ese teorema, finalmente aprenderemos a calcular integrales definidas.

El teorema nos dice que:

Si \(f\) es continua en \([a, b]\), entonces:

\[\int_{a}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a),\text{ donde }F \text{ es cualquier primitiva de } f\]

Por ejemplo, calculemos

\[\int_{0}^{1} x^{2} d x\]

Bueno, el primer paso es calcular la primitiva de \(x^{2}\). ¡Hey, ya sabemos cómo hacerlo!

\[F(x)=\frac{x^{2+1}}{2+1}=\frac{x^{3}}{3}\]

\[\int_{0}^{1} x^{2} d x=F(1)-F(0)\]

\[\int_{0}^{1} x^{2} d x=\ frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}\]

Tenga en cuenta que no he puesto la mágica constante \(C\) que yo te dije mil veces que no debes olvidar. Entonces, para integrales definidas, vamos a olvidarnos de esta constante, ¿de acuerdo?

Mira lo que sucedería si pusiéramos la constante:

\[F(x)=\frac{x^{3}}{3}+C\]

\[\int_{0}^{1} x^{2} d x=F(1)-F(0)\]

\[\int_{0}^{1} x^{2} d x=\frac{1}{3}+C-(0+C)\]

\[\int_{0}^{1} x^{2} d x=\frac{1}{3}+C-0-C\]

\[\int_{0}^{1} x^{2} d x=\frac{1}{3}\]

¡La constante desaparece cuando hacemos una diferencia! ¡Es por eso que no tienes que preocuparte por eso cuando quieres una integral definida! ¿Lo entendiste? 😁

Notación

La notación utilizada para calcular la integral definida es la siguiente:

\[\int_{a}^{b} f(x) d x=\left.F(x)\right|_{x=a} ^{x=b}=F(b)-F(a)\]

Es sólo una forma de escribir esto más fácilmente.

¡Y eso es todo amigos,vamos a practicar en la sección de ejercicios!