Antiderivación

¿Qué es una antiderivada?

Si yo te pido la derivada de esta función:

\[f(x)=\cos x+3 x-2\]

Facilito, ¿o no?

¿Pero y si te pido una función cuya derivada es \(f(x)\)? Ahí ya se complica un poco. Aquí vamos a ver cómo resolver este tipo de problema.

Pero antes vamos a darle nombre a todos los elementos. Básicamente, una función \(F\) es una antiderivada o primitiva de una función \(f\) en un intervalo cualquiera si, para todo \(x\) de ese intervalo:

\[F^{\prime}(x)=f(x)\]

Ok, ¿pero qué son integrales indefinidas?

La integral indefinida es una notación usada para la primitiva. La escribimos así, mira:

\[\int f(x) d x=F(x)+C\]

El símbolo \(\int\) significa que estoy buscando las antiderivadas o la integral indefinida de \(f(x)\).

Ese \(C\) que está al final es la constante de integración. Él aparece porque la derivada de cualquier constante es cero, entonces:

\[(F(x)+C)^{\prime}=F^{\prime}(x)+0=F^{\prime}(x)=f(x)\]

¡No te olvides de la \(C\)! Por él, la integral indefinida de \(f(x)\) no es solo una función \(F(x)\), y si una familia de funciones de forma \(F(x)+C\) como la de la siguiente foto:

La única diferencia entre las funciones es el valor de la constante, pero la derivada de todas es la misma: \(f(x)\).

Por eso hay una gran diferencia entre integrales indefinidas y definidas:

¡Ahora vamos a ver en la práctica como encontrar esa integral!

Integrando funciones trigonométricas

\(1)\) \[[\operatorname{sen} x]^{\prime}=\cos x \rightarrow \int \cos x d x=\operatorname{sen} x+C\]

(Soy fastidioso entonces voy a recordarte: nunca, en hipótesis alguna, olvides la constante \(C\) cuando estés trabajando con una integral indefinida!)

\(2)\) \[[-\cos x]^{\prime}=\operatorname{sen} x \rightarrow \int \operatorname{sen} x d x=-\cos x+C\]

\(3)\) \[[\sec x]^{\prime}=\sec x \operatorname{tg} x \rightarrow \int \sec x \operatorname{tg} x d x=\sec x+C\]

\(4)\) \[[\operatorname{tg} x]^{\prime}=\sec ^{2} x \rightarrow \int \sec ^{2} x d x=\operatorname{tg} x+C\]

\(5)\) \[[-\operatorname{cotg} x]^{\prime}=\operatorname{cossec}^{2} x \rightarrow \int \operatorname{cossec}^{2} x d x=-\operatorname{cotg} x+C\]

\(6)\) \[[-\operatorname{cossec} x]^{\prime}=\operatorname{cossec} x \operatorname{cotg} x \rightarrow \int \operatorname{cossec} x \operatorname{cotg} x d x=-\operatorname{cossec} x+C\]

Hay tres que son un poco más difíciles de deducir, pero que también son importantes de saber:

\(7)\) \[\int \operatorname{tg} x d x=\ln |\sec x|+C\]

\(8)\) \[\int \sec x d x=\ln |\sec x+\operatorname{tg} x|+C\]

\(9)\)\[\int \operatorname{cossec} x d x=-\ln |\operatorname{cossec} x+\operatorname{cotg} x|+C\]

Integrando polinomios

\[\left[\frac{1}{n+1} x^{n+1}\right]^{\prime}=x^{n} \rightarrow \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\]

¡Detalle que \(n\) ni siquiera necesita ser un entero!

Solo tenemos un caso especial, cuando \(n=-1\):

\[\int x^{-1} d x=\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C\]

Integrando funciones exponenciales

\(1)\) \[\left[e^{x}\right]^{\prime}=e^{x} \rightarrow \int e^{x} d x=e^{x}+C\]

\(2)\) \[\left[\frac{a^{x}}{\ln a}\right]^{\prime}=a^{x} \rightarrow \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C\]

Integrando funciones trigonométricas inversas

\(1)\) \[[\text {arcsen } x]^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \rightarrow \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\operatorname{arcsen} x+C\]

\(2)\) \[[\operatorname{arctg} x]^{,}=\frac{1}{x^{2}+1} \rightarrow \int \frac{1}{x^{2}+1} d x=\operatorname{arctg} x+C\]

¡Listo, llegamos al final! 😁