Teorema Fundamental del Cálculo (l'Hopital)

Hay una aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo que es calcular límites que caen en indeterminaciones. Eso mismo: aquellos límites que resultan en \(\frac{0}{0}\); \(\frac{\infty}{\infty}\), ... y que tienes que usar l'Hopital para resolver.

Puede parecer raro mezclar l'Hopital con Teorema Fundamental del Cálculo. Pero recuerda que cuando caes en una indeterminación del tipo \(\frac{0}{0}\) o \(\frac{\infty}{\infty}\), aplicas l'Hopital, ¿no? ¿Y qué significa eso? Derivar arriba y abajo, ¿no es así?

Entonces, a veces tenemos una expresión del tipo:

\[\int_{a}^{x} f(t) d t\]

Allí en medio del límite. Y lo hace de una forma que caes en una indeterminación, de modo que tendrás que aplicar l'Hopital.

Para ello, tendrás que saber derivar una función de ese tipo. ¿Quién te enseña eso? El Teorema Fundamental del Cálculo - Parte 1

¿Vamos a dejar el bla bla bla y hacer un ejemplo para que veas en la práctica cómo funciona?

Ejemplo 1:

\[\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left(\int_{2}^{2+h} \sqrt{1+t^{3}} d t\right)\]

Cuando vamos a calcular un límite, lo primero que hacemos es sustituir el valor dado en la función que está dentro del límite para ver qué pasa. En ese caso, si hacemos \(h=0\) en la expresión dada, mira lo que sucede:

\[\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\int_{2}^{2+h} \sqrt{1+t^{3}} d t}{h}=\frac{\int_{2}^{2+0} \sqrt{1+t^{3}} d t}{0}=\frac{\int_{2}^{2} \sqrt{1+t^{3}} d t}{0}\]

Ya sabemos, por las propiedades de las integrales, que una integral con límites de integraciones iguales es nula. Por lo tanto: TCHARAM! Tenemos una indeterminación del tipo:

\[=\frac{0}{0}\]

¿Y entonces? ¿Cuál es la forma más simple de resolver esto? ¿No es aplicando el famoso l'Hopital?

Para derivar el numerador tenemos que usar el Teorema Fundamental del Cálculo:

\[\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\int_{2}^{2+h} \sqrt{1+t^{3}} d t}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\left(\int_{2}^{2+h} \sqrt{1+t^{3}} d t\right)}{(h)^{\prime}}\]

¿Recuerdas cómo derivar eso? El límite de integración superior es una función de \(h\). Entonces primero sustituimos la variable \(t\) dentro de la integral por esa función de \(h\) y luego aplicamos la regla de la cadena:

\[\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+(2+h)^{3}}(2+h)^\prime}{(h)^\prime}\]

\[=\lim _{h \rightarrow 0} \sqrt{1+(2+h)^{3}}\]

Ahora que ya no hay indeterminación, podemos sustituir:

\[=\sqrt{1+(2+0)^{3}}\]

\[=\sqrt{1+8}=\sqrt{9}\]

\[=3\]

¡Listo! Ahora solo debes celebrar y hacer algunos problemitas para practicar, ok?