Integración por Partes

¿Cuando se debe integrar por partes?

Este método es recomendado cuando tenemos un producto de funciones de diferentes tipos (logarítmica, inversa, polinomial, trigonométrica, exponencial, ...), siendo una de ellas fácil de integrar y la otra fácil de derivar.

Para que entiendas de dónde viene, el método de integración por partes proviene de la Regla del Producto en la derivación. Recordando esta regla:

\[(f(x) \cdot g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g^{\prime}(x)\]

Sea \(u=f(x)\) y \(v=g(x)\). Entonces:

\[(u v)^{\prime}=d u v+u d v \Rightarrow u d v=(u v)^{\prime}-v d u \Rightarrow \int u d v=u v-\int v d u\]

Esta expresión es la "fórmula" de la integración por partes. Nuevamente:

\[\int u d v=u v-\int v d u\]

Para asegurarnos de que no la olvidarás:

\[\int u d v=u v-\int v d u\]

\[\int u d v=u v-\int v d u\]

\[\int u d v=u v-\int v d u\]

Por ejemplo, vamos a calcular la integral

\[\int x e^{2 x} d x\]

Paso 1: llamar una parte de la integral \(u\) y otra \(d v\), de modo que el \(u\) sea el más difícil de ser integrado o el más fácil de derivar. El truco es elegir el \(u\) en este orden: LIATE.

\(L \longrightarrow \text {logarítmico } (\ln x)\)

\(I \longrightarrow \text {inversa trigonométrica } (\operatorname{arcsen} x, \operatorname{arctg} x, \ldots)\)

\(A \longrightarrow \text {algebraica (o polinómica)} \left(x^{n}\right)\)

\(T \longrightarrow \text {trigonométrica } (\operatorname{sen} x, \cos x, \sec x, \ldots)\)

\(E \longrightarrow \text{ exponencial } \left(e^{x}\right)\)

Entonces, en este caso:

\[u=x \text {(algebraico)}\]

\[d v=e^{2 x} d x \text { (exponencial)}\]

Paso 2: Calcular \(d u\) derivando \(u\) y calcular \(v\) integrando \(d v\).

\[d u=1 d x=d x\]

\[v=\frac{1}{2} e^{2 x}\]

Paso 3: hacer \(\int u d v=u v-\int v d u\)

\[\int x e^{2 x} d x=x \cdot \frac{1}{2} e^{2 x}-\int \frac{1}{2} e^{2 x} d x\]

Paso 4: verificar cómo calcular la integral \(\int v d u\). Si es necesario, aplique nuevamente la integración por partes en este término. Si parece que no irá a ningún lado, regrese al paso \(1\) e intente con otro \(u\) y \(d v\).

En este caso todo está bien, ¡es posible calcular directamente esta nueva integral que apareció!

Paso 5: calcular \(\int v d u\) y obtener el resultado.

\[\int12e2xdx = 12⋅12e2x = 14e2x\rightarrow \int xe2xdx = x2e2x -14e2x + C\]

Sin olvidar la constante, ¿eh? 😜

Nota: Para integrar la función \(\ln x\) también utilizamos la integración por partes. Después de todo, es como si tuviéramos un polinomio \(x^{0}\) veces la función logarítmica, ¿ok?

\[\int \ln x d x=\int x^{0} \ln x d x\]

Simplemente haz lo mismo: llamar \(\ln x\) como \(u\) y el polinomio \(1\) como \(d v\).

Integración por partes

Existen algunos casos en que vas a integrar por partes feliz de la vida pensando que todo está bien y de repente volverás a la integral que tenías al principio y no entenderás nada, creerás que estás corriendo en círculos. ¡Pero así son las cosas! 😄

Un caso muy clásico es una función exponencial multiplicada por una función trigonométrica, por ejemplo:

\[\int e^{3 x} \operatorname{sen}(5 x) d x\]

En estos casos, ni siquiera tienes que apegarte a la regla LIATE, cualquiera de las funciones. puede ser el \(u\).

Llamaré \(u\) a la función exponencial, ¿de acuerdo?

\[u=e^{3 x} \rightarrow d u=3 e^{3 x} d x\]

\[d v=\operatorname{sen}(5 x) d x \rightarrow v=-\frac{1}{5} \cos (5 x)\]

Aplicando la fórmula el resultado será:

\[\int e^{3 x} \operatorname{sen}(5 x) d x=-\frac{1}{5} e^{3 x} \cos (5 x)+\frac{3}{5} \int e^{3 x} \cos (5 x) d x\]

Observa que volví a caer en una integral que es el producto de una función exponencial y una función trigonométrica:

\[\int e^{3 x} \cos (5 x) d x\]

¡Así que integremos por partes nuevamente!

Un detalle muy importante: ahora ya no hay cómo elegir, tenemos que mantener la elección de la primera integración y llamar de \(u\) a la función exponencial.

\[u=e^{3 x} \rightarrow d u=3 e^{3 x} d x\]

\[d v=\cos (5 x) d x \rightarrow v=\frac{1}{5} \operatorname{sen}(5 x)\]

Por tanto,

\[\int e^{3 x} \cos (5 x) d x=\frac{1}{5} e^{3 x} \operatorname{sen}(5 x)-\frac{3}{5} \int \operatorname{sen}(5 x) \cdot e^{3 x} d x\]

¿Te das cuenta de que volví a la misma integral que tenía en el enunciado y esa fue exactamente la que quería resolver?

¡Relájate, no trabajaste por nada! Volvamos a la integral original y sigamos aquí conmigo:

\[\int e^{3 x} \operatorname{sen}(5 x) d x=-\frac{1}{5} e^{3 x} \cos (5 x)+\frac{3}{5} \int e^{3 x} \cos (5 x) d x\]

\[\int e^{3 x} \operatorname{sen}(5 x) d x=-\frac{1}{5} e^{3 x} \cos (5 x)+\frac{3}{5}\left[\frac{1}{5} e^{3 x} \operatorname{sen}(5 x)-\frac{3}{5} \int \operatorname{sen}(5 x) \cdot e^{3 x} d x\right]\]

\[\int e^{3 x} \operatorname{sen}(5 x) d x=-\frac{1}{5} e^{3 x} \cos (5 x)+\frac{3}{25} e^{3 x} \operatorname{sen}(5 x) -\frac{9}{25} \int \operatorname{sen}(5 x) \cdot e^{3 x} d x\]

Ahora mira qué hermoso: simplemente puedo pasar la integral que es igual a la integral original al otro lado, "despejar" la integral que quiero resolver:

\[\int e^{3 x} \operatorname{sen}(5 x) d x+\frac{9}{25} \int \operatorname{sen}(5 x) \cdot e^{3 x} d x=-\frac{1}{5} e^{3 x} \cos (5 x)+\frac{3}{25} e^{3 x} \operatorname{sen}(5 x)\]

¡Luego solo debes desarrollarlo! Al final dará:

\[\int \operatorname{sen}(5 x) \cdot e^{3 x} d x=-\frac{5}{34} e^{3 x} \cos (5 x)+\frac{3}{34} e^{3 x} \operatorname{sen}(5 x)+C\]

¿Te gustó el truco? 😉

¡A entrenar duro en la sección de ejercicios! ¿Vamos?