Integrales Trigonométricas

Identidades trigonométricas

Muchas integrales se pueden calcular manipulando el integrando a través de identidades trigonométricas, tales como:

\[\operatorname{sen}^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1\]

\[1+\operatorname{tg}^{2} \theta=\sec ^{2} \theta\]

\[1+\operatorname{cotg}^{2} \theta=\operatorname{cossec}^{2} \theta\]

\[\operatorname{sen}(x \pm y)=\operatorname{sen} x \cdot \cos y \pm \operatorname{sen} y \cdot \cos x\]

\[\cos (x \pm y)=\cos x \cdot \cos y \mp \operatorname{sen} x \cdot \operatorname{sen} y\]

Intenta aprenderte al menos esas que son las principales. Partiendo de ellas podemos encontrar otras identidades:

\[\operatorname{sen}(2 x)=2 \operatorname{sen} x \cdot \cos x\]

\[\cos (2 x)=\cos ^{2} x-\operatorname{sen}^{2} x=2 \cos ^{2} x-1=1-2 \operatorname{sen}^{2} x\]

\[\cos ^{2} x=\frac{1+\cos 2 x}{2}\]

\[\operatorname{sen}^{2} x=\frac{1-\cos 2 x}{2}\]

\[\operatorname{sen} x \cdot \cos y=\frac{1}{2}[\operatorname{sen}(x+y)+\operatorname{sen}(x-y)]\]

\[\cos x \cdot \cos y=\frac{1}{2}[\cos (x+y)+\cos (x-y)]\]

\[\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{sen} y=\frac{1}{2}[\cos (x-y)-\cos (x+y)]\]

Potencias que involucran seno y coseno

Caso 1:

Por ejemplo, en la integral

\[\int \operatorname{sen}^{2}(x) \cdot \cos ^{3}(x) d x\]

La potencia del coseno es impar. Hagamos lo siguiente:

\[\int \operatorname{sen}^{2}(x) \cdot \cos ^{2}(x) \cdot \cos (x) d x=\int \operatorname{sen}^{2}(x) \cdot\left(1-\operatorname{sen}^{2}(x)\right) \cdot \cos (x) d x\]

Ahora lanzamos la sustitución:

\[u=\operatorname{sen} x \Rightarrow d u=\cos (x) d x\]

Al final tenemos una integral fácil para resolver:

\[\int u^{2} \cdot\left(1-u^{2}\right) d u=\int u^{2}-u^{4} d u\]

Caso 2:

Vamos a calcular la integral

\[\int \operatorname{sen}^{2} x \cdot \cos ^{2} x d x\]

Usando la identidad:

\[\int \frac{1-\cos 2 x}{2} \cdot \frac{1+\cos 2 x}{2} d x=\frac{1}{4} \int 1-\cos ^{2} 2 x d x\]

Aplicando de nuevo para el \(\cos ^{2} 2 x\) tendremos

\[\frac{1}{4} \int\left(1-\frac{1}{2}-\frac{\cos 4 x}{2}\right) d x\]

¡Ahora solo tenemos que usar una sustitución \(u=4 x\) y listo!

Nota: también puedes usar la relación

\[\operatorname{sen} x \cdot \cos x=\frac{1}{2} \operatorname{sen} 2 x\]

Potencias que involucran tangente y secante o cotangente y cosecante

Caso 1:

Aquí hay un ejemplo:

\[\int \operatorname{tg}^{3} x \cdot \sec ^{6} x d x\]

Tenemos que \(n\) es par y \(m\) es impar, entonces en este caso podremos incluso elegir entre las sustituciones \(u=\operatorname{tg} x\) y \(u=\sec x\) .

¡Calma chicos! No hay necesidad de pelear, solucionémoslo de las dos formas.

1ra forma: \(u=t \mathrm{g} x \Rightarrow d u=\sec ^{2}(x) d x\)

\[\int \operatorname{tg}^{3} x \cdot \sec ^{6} x d x\]

\[=\int \operatorname{tg}^{3} x \cdot \sec ^{4} x \cdot \sec ^{2} x d x=\int \operatorname{tg}^{3} x \cdot\left(1+\operatorname{tg}^{2} x\right)^{2} \cdot \sec ^{2} x d x\]

\[=\int u^{3}\left(1+u^{2}\right)^{2} d u=\int\left(u^{3}+2 u^{5}+u^{7}\right) d u\]

2da forma: \(u=\sec (x) \Rightarrow d u=\sec (x) \operatorname{tg}(x) d x\)

\[\int \operatorname{tg}^{3} x \cdot \sec ^{6} x d x\]

\[=\int \operatorname{tg}^{2} x \cdot \sec ^{5} x \cdot \sec x \cdot \operatorname{tg} x d x\]

\[=\int\left(\sec ^{2} x-1\right) \sec ^{5} x \cdot \sec x \cdot \operatorname{tg} x d x\]

\[=\int\left(u^{2}-1\right) u^{5} d u=\int\left(u^{7}-u^{5}\right) d u\]

Caso 2:

Calculemos la siguiente integral:

\[\int \operatorname{tg}^{2} x \cdot \sec ^{3} x d x\]

La idea aquí es utilizar la identidad trigonométrica para eliminar cualquier tangente de la expresión, dejando sólo las secantes. Así que vamos a escribirla así:

\[\int\left(\sec ^{2} x-1\right) \cdot \sec ^{3} x d x=\int \sec ^{5} x d x-\int \sec ^{3} x d x\]

Después de eso, en lugar de una sustitución haremos una integración por partes, utilizando

\[d v=\sec ^{2} x d x\]

Todo lo que hicimos para la tangente/secante vale para la cotangente/cosecante. ;)

Integrales que involucran productos seno y coseno

En estos casos, utilizaremos las siguientes identidades:

\[\operatorname{sen}(x) \cdot \cos (y)=\frac{1}{2}[\operatorname{sen}(x+y)+\operatorname{sen}(x-y)]\]

\[\cos (x) \cdot \cos (y)=\frac{1}{2}[\cos (x+y)+\cos (x-y)]\]

\[\operatorname{sen}(x) \cdot \operatorname{sen}(y)=\frac{1}{2}[\cos (x-y)-\cos (x+y)]\]

Estas fórmulas son difíciles de memorizar, pero mira un ejemplo de cómo esto nos hace la vida más fácil:

\[\int \operatorname{sen}(5 x) \cdot \cos (2 x) d x=\int \frac{1}{2}[\operatorname{sen}(7 x)+\operatorname{sen}(3 x)] d x\]

Mucho mejor, ¿verdad?

¡Ahora ven conmigo a ver algunos ejercicios! ;)