Sustitución Trigonométrica

Ya vimos millones de integrales, con sustitución, partes y todo. Luego, en el momento de la prueba encuentras esta integral

\[\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2}+9}} d x\]

Tiene una raíz, con \(x\) en el denominador, no se te ocurre ninguna sustitución, no puedes usar el LIATE. ¿Qué hacer? Llorar?

TRANQUIIIIIILO ... usemos la sustitución trigonométrica, nos salvará la vida.

¿Cuándo usar la sustitución trigonométrica?

En aquel ejemplo de la integral

\[\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2}+9}} d x\]

Apareció \(\sqrt{x^{2}+a^{2}}\), aquel \(a^{2}\) es el \(9\).

\[a^{2}=9 \rightarrow a=\pm 3\]

En la sustitución trigonométrica, debemos ignorar ese negativo. Siempre vamos a tomar el positivo.

Ese \(a\) es siempre un número.

Entonces, si tuviéramos

\[\sqrt{x^{2}-9} \rightarrow a^{2}=9 \rightarrow a=3\]

\[\sqrt{4-x^{2}} \rightarrow a^{2}=4 \rightarrow a=2\]

\[\sqrt{x^{2}-2} \rightarrow a^{2}=2 \rightarrow a=\sqrt{2}\]

Ok, estamos en SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA. Esto significa que vamos a hacer una SUSTITUCIÓN, y que esa sustitución será una función TRIGONOMÉTRICA.

La pregunta es qué sustitucion hacer. En cada caso, utilizaremos una sustitución diferente.

Usando la sustitución trigonométrica

Volvamos a nuestro ejemplo

\[\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2}+9}} d x\]

Paso 1: Identificamos cuál caso.

Aquí tenemos el primer caso: \(\sqrt{x^{2}+a^{2}}\) , ya vimos que \(a=3\). Hagamos

\[x=a \operatorname{tg} \theta \rightarrow x=3 \operatorname{tg} \theta\]

Paso 2: Encontramos \(d x\), derivando \(x\)

Ahora necesitamos encontrar \(d x\), solo derivamos \(x\)

\[d x=3 \sec ^{2} \theta d \theta\]

Paso 3: Reemplace \(x\) y \(d x\) en la integral dada.

En primer lugar, vamos a ver solamente la sustitución de la raíz

\[\sqrt{x^{2}+9} \Rightarrow \sqrt{(3 t g \theta)^{2}+9}=\sqrt{9 t g^{2} \theta+9}=\sqrt{9\left(t g^{2} \theta+1\right)}\]

Usando

\[t g^{2} \theta+1=\sec ^{2} \theta\]

\[\sqrt{9\left(\operatorname{tg}^{2} \theta+1\right)}=\sqrt{9 \sec ^{2} \theta}=3 \sec \theta\]

Tenga en cuenta que la raíz se ha ido, ¿verdad? Este tipo de integración es exactamente para eliminar esta raíz, así que tenga en cuenta: si la raíz no desaparece, me equivoqué en algún lugar.

\[\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2}+9}} d x \Rightarrow \int \frac{3 \sec ^{2} \theta d \theta}{3 \operatorname{tg} \theta \cdot \sqrt{\left(3 \operatorname{tg}^{2} \theta\right)^{2}+9}}=\int \frac{3 \sec ^{2} \theta d \theta}{3 \operatorname{tg} \theta \cdot 3 \sec \theta}=\int \frac{\sec \theta}{3 \operatorname{tg} \theta} d \theta\]

Arreglando eso

\[=\frac{1}{3} \int \frac{\frac{1}{\cos \theta}}{\frac{\cos \theta}{\cos \theta}} d \theta=\frac{1}{3} \int \frac{1}{\operatorname{sen} \theta} d \theta=\frac{1}{3} \int \operatorname{cossec} \theta d \theta\]

Paso 4: Resolver la integral en la variable \(\theta\).

Aquí solo debes resolver la integral xD

\[\frac{1}{3} \int \operatorname{cossec} \theta d \theta=-\frac{1}{3} \ln |\operatorname{cossec} \theta+\operatorname{cotg} \theta|+C\]

Paso 5: Usa el triángulo rectángulo para convertir el \(\theta\) a la variable inicial.

No interesa llegar a la respuesta en función de \(\theta\), necesitamos encontrarla en función de \(x\) porque esa era la variable que tenía allá al principio. ¿Cómo lo hacemos? ¿Y ahora?

Usamos

\[x=3 \operatorname{tg} \theta\]

Entonces

\[\operatorname{tg} \theta=\frac{x}{3}\]

Mirando el triángulo rectángulo:

Simplemente use las relaciones trigonométricas

\[\operatorname{sen} \theta=\frac{\text {Cateto Opuesto}}{\text {Hipotenusa}}\]

\[\cos \theta=\frac{\text {Cateto Adyacente}}{\text {Hipotenusa}}\]

\[\operatorname{tg} \theta=\frac{\text {Cateto Opuesto}}{\text {Cateto Adyacente}}\]

\[\operatorname{tg} \theta=\frac{\text {Cateto Opuesto}}{\text {Cateto Adyacente}}=\frac{x}{3}\]

El cateto opuesto será \(x\) y el cateto adyacente será \(3\). Nuestro triángulo será

Amigo, pero ¿qué pasa con esa hipotenusa? Pitágoras

\[\text {Hipotenusa}=\sqrt{x^{2}+9}\]

Aquí, siempre faltará un lado, para encontrarlo solo haz Pitágoras.

El triángulo de nuestro ejemplo es

Queremos escribir

\[\frac{1}{3} \ln |\operatorname{cossec} \theta-\operatorname{cotg} \theta|+C\]

Con \(x\). Aquí tendremos

\[\operatorname{cotg} \theta=\frac{1}{\operatorname{tg} \theta}=\frac{1}{x / 3}=\frac{3}{x}\]

Y

\[\operatorname{cossec} \theta=\frac{1}{\operatorname{sen} \theta}=\frac{1}{x / \sqrt{x^{2}+9}}=\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x}\]

Volviendo ahora a \(x\)

\[-\frac{1}{3} \ln \left|\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x}+\frac{3}{x}\right|+C\]

Los pasos son los siguientes:

Paso 1: identificamos cual caso.

Paso 2: encontramos \(d x\).

Paso 3: Sustituir \(x\) y \(d x\) en la integral dada.

Paso 4: Resolver la integral en la variable \(\theta\).

Paso 5: Usar el triángulo rectángulo para convertir el \(\theta\) a la variable inicial.

¡Eso es todo amigos, manos a la obra, vamos a los ejercicios!