Fracciones Parciales

¿Cuándo utilizar el Método de Integración por Fracciones Parciales?

Aviso: Utilice este método solo cuando no haya manera de aplicar una sustitución simple o trigonométrica.

Dicho esto, usamos este método para integrar una división de polinomios, donde el grado del numerador es menor que el del denominador.

Como en estas integrales de aquí:

\[\int \frac{x+3}{x^{2}-x+3} d x, \int \frac{4 x}{x^{3}-2 x^{2}+x+3} d x, \int \frac{x^{2}+5}{x\left(x^{5}+1\right)} d x\]

El grado de un polinomio es simplemente su máximo exponente:

\[x+3 \rightarrow \operatorname{grado} 1\]

\[x^{2}-x+3 \rightarrow \operatorname{grado} 2\]

\[x^{3}-2 x^{2}+x+3 \rightarrow \operatorname{grado} 3\]

\[x\left(x^{5}+1\right) \rightarrow x^{6}+x \rightarrow \operatorname{grado} 6\]

¿De acuerdo? El grado del numerador siempre debe ser menor para usar fracciones parciales.

Veamos un ejemplo para responder a la pregunta de Patricio:

\[\frac{x^{7}-1}{x^{2}+3}\]

Paso 1: dividimos el término \(x\) con el exponente más grande del numerador por el término \(x\) con el exponente más grande del denominador:

\[\frac{x^{7}}{x^{2}}=x^{5}\]

Paso 2: Multiplicamos la respuesta por el denominador:

\[x^{5}\left(x^{2}+3\right)=x^{7}+3 x^{5}\]

Paso 3: Restamos del numerador el resultado obtenido anteriormente:

\[\left(x^{7}-1\right)-\left(x^{7}+3 x^{5}\right)=-3 x^{5}-1\]

Paso 4: Llegamos a una nueva división escribiendo lo que encontramos en el paso \(1\) más lo que encontramos en el paso \(3\), colocando esta suma sobre el denominador:

\[\frac{x^{7}-1}{x^{2}+3}=x^{5}+\frac{-3 x^{5}-1}{x^{2}+3}\]

Si el grado del polinomio del numerador sigue siendo más grande que el grado del polinomio del denominador, sólo debes aplicar el paso a paso nuevamente en la nueva fracción.

Desglosando expresiones en fracciones parciales

Caso 1: todos los factores del denominador son lineales (1er grado) y con raíces distintas.

Vamos a desglosar en fracciones parciales la siguiente expresión:

\[\frac{x-5}{x^{2}-x-2}\]

Es una división de polinomios, siendo el grado del numerador (\(1\)) más pequeño que el del denominador (\(2\)), así que todo está bien. Factorizando el denominador tenemos:

\[\frac{x-5}{(x-2)(x+1)}\]

Estos términos \((x-2)\) y \((x+1)\) que son los factores del denominador son \(2\) factores de primer grado, con \(2\) raíces distintas \((2 \mathrm{e}-1)\).

La idea es escribir la expresión de esta manera, mira:

\[\frac{x-5}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}\]

Donde \(A\) y \(B\) son constantes.

Para determinar \(A\) y \(B\), pongamos todo en el mismo denominador y comparemos los \(2\) lados de la ecuación:

\[\frac{x-5}{(x-2)(x+1)}=\frac{A(x+1)+B(x-2)}{(x-2)(x+1)}\]

\[\frac{x-5}{(x-2)(x+1)}=\frac{A x+A+B x-2 B}{(x-2)(x+1)}\]

\[\frac{x-5}{(x-2)(x+1)}=\frac{(A+B) x+A-2 B}{(x-2)(x+1)}\]

Comparando, tenemos:

\[x-5=(A+B) x+A-2 B\]

\[\left\{\begin{array}{c}{A+B=1} \\ {A-2 B=-5}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}{A=-1} \\ {B=2}\end{array}\right.\right.\]

Hay un truco que facilita los cálculos e incluso disminuye la posibilidad de error.

En este caso en particular no sería de mucha ayuda, ya que es bastante fácil, pero la idea es: cuando llegas a la ecuación

\[x-5=(A+B) x+A-2 B\]

Reemplazar los valores \(x\) iguales a las raíces de los polinomios. En este caso nuestras raíces son \(2 \mathrm{e}-1\).

Para \(x=2\):

\[2-5=(A+B) 2+A-2 B\]

\[-3=2A+2B+A-2B\]

\[3A=-3\]

\[A=-1\]

Y para \(x=-1\):

\[-1-5=A+B(-1)+A-2B\]

\[-6=-A-B+A-2B\]

\[-6=-3B\]

\[B=2\]

¿Te gustó el truco? Espero que si, apuesto a que lo usarás mucho :D

De todos modos, con o sin truco, llegamos a la conclusión de que:

\[\frac{x-5}{x^{2}-x-2}=\frac{x-5}{(x-2)(x+1)}=-\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x+1}\]

Usando esto para calcular la integral:

\[\int \frac{x-5}{x^{2}-x-2} d x=-\int \frac{1}{x-2} d x+2 \int \frac{1}{x+1} d x\]

\[=-\ln |x-2|+2 \ln |x+1|+C\]

Si deseas que el resultado luzca más estético usando la propiedad del logaritmo, adelante, pero si lo dejas así también es valido.

¡Ah, se me olvidaba! (un truco extra que te ayudará mucho en fracciones parciales):

\[\int \frac{A}{x-b} d x=A \ln |x-b|+C\]

Caso 2: todos los factores del denominador son de primer grado. y algunos factores se repiten (aparecen múltiples raíces)

Ahora veamos cómo separar fracciones parciales de expresiones de este tipo:

\[\frac{x}{(x-1)(x+1)^{2}}\]

El polinomio del denominador tiene una raíz única \((x=1)\) y una raíz múltiple \((x=-1)\).

Hagamos lo siguiente:

\[\frac{x}{(x-1)(x+1)^{2}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^{2}}\]

Después solo debes hacer cálculos, trabajo manual: poner todo en el mismo denominador, montar y resolver el sistema...

Ahora, mira este de aquí:

\[\frac{x}{(x-1)(x+1)^{3}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^{2}}+\frac{D}{(x+1)^{3}}\]

¿Entiendes la idea? Una última para que no quede duda:

\[\frac{x+2}{(x+1)^{10}}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}+\ldots+\frac{I}{(x+1)^{9}}+\frac{J}{(x+1)^{10}}\]

Caso 3: los factores del denominador son lineales y cuadráticos irreducibles (y los factores cuadráticos no se repiten)

Y si quisiéramos calcular:

\[\int \frac{3 x^{2}-7 x+5}{x\left(x^{2}-4 x+5\right)} d x\]

Por cierto, ¿notaste que estamos comenzando a enfrentar integrales más difíciles, verdad?

En el denominador hay un término lineal: \(x\). El otro término, \(x^{2}-4 x+5\), es lo que llamaré de factor cuadrático irreducible. Simplemente significa que no puedes simplificarlo, no puedes factorizarlo en términos de factores lineales, como \((x+a)(x+b)\) o \((x+a)^{2}\).

Y una forma muy simple de probar si un término cuadrático es irreducible es calcular el delta (famoso \(\Delta\)) y probar si es negativo. En nuestro ejemplo, tenemos

\[x^{2}-4 x+5 \Rightarrow \Delta=(-4)^{2}-4.1 .5\]

\[=16-20=-4<0\]

Bien, es negativo, entonces \(x^{2}-4 x+5\) es un factor cuadrático irreducible.

Bien, ahora que vemos lo que esto significa, veamos cómo dividir nuestra integración en fracciones parciales:

\[\frac{3 x^{2}-7 x+5}{x\left(x^{2}-4 x+5\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}-4 x+5}\]

Vaya, ¿notaste la diferencia?

En la fracción correspondiente al término cuadrático, en lugar de solo una constante \(B\), ¿apareció un término \(B x+C\), está bien?

Si el \(b\) del factor cuadrático irreducible \(a x^{2}+b x+c\) es distinto de cero, como en nuestro ejemplo \((b=-4 \neq 0)\), entonces lo correcto es escribir la fracción parcial correspondiente de esta manera:

\[\frac{A(2 a x+b)+B}{a x^{2}+b x+c}\]

Observa que el término \((2 a x+b)\) es la derivada del polinomio de abajo.

Sé que suena un poco al azar, pero créanme, esto hace que sea mucho más fácil calcular las integrales más adelante. Confía en mí, soy genial!

Entonces hagamos

\[\frac{3 x^{2}-7 x+5}{x\left(x^{2}-4 x+5\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B\left[\left(x^{2}-4 x+5\right)^{\prime}\right]+C}{x^{2}-4 x+5}\]

\[\frac{3 x^{2}-7 x+5}{x\left(x^{2}-4 x+5\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B(2 x-4)+C}{x^{2}-4 x+5}\]

Después de eso, el procedimiento es el mismo: montar el sistema, resolver, etc. etc.

Caso 4: los factores del denominador son lineales y cuadráticos y algunos factores cuadráticos se repiten.

Este caso mezcla todo lo que hemos visto hasta ahora. Vamosa ver integrales del tipo:

\[\int \frac{x-2}{x\left(x^{2}-4 x+5\right)^{2}} d x\]

El término cuadrático \(x^{2}-4 x+5\) en el denominador es irreducible.

Montando las fracciones parciales:

\[\frac{x-2}{x\left(x^{2}-4 x+5\right)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}-4 x+5}+\frac{D x+E}{\left(x^{2}-4 x+5\right)^{2}}\]

Y como en el caso \(2\), si aparece un cubo en el denominador por ejemplo, tendríamos:

\[\frac{x-2}{x\left(x^{2}-4 x+5\right)^{3}}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}-4 x+5}+\frac{D x+E}{\left(x^{2}-4 x+5\right)^{2}}+\frac{F x+G}{\left(x^{2}-4 x+5\right)^{3}}\]

Y así sucesivamente.

Nota: En este ejemplo, podrías usar el truco de poner la derivada del polinomio del denominador en el lugar de \(x\), ¿de acuerdo? Simplemente no lo usé para no mezclar demasiadas cosas y llegar a confundirte.

De todos modos, puedes ver que las fracciones parciales es un método que demanda mucho trabajo, ¿verdad? ¡Para ser un crack en esto tienes que entrenar duro! :D