Integración por Sustitución-\(\mathrm{u}=\operatorname{tg}(\mathrm{x} / 2)\)

Hablemos de este tipo de sustitución:

\[u=\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)\]

Esta sustitución es bastante característica (por lo que tiene una teoría propia). Es para funciones donde tienes cocientes que involucran \(\operatorname{sen}(x)\) y/o \(\cos (x)\), especialmente si aparecen sumados o restados sin mucha cara de que se pueden resolver usando la integral trigonométrica.

Si tienes que resolver problemas como este, debes saber que puedes escribir el \(\operatorname{sen}(x)\) y el \(\cos (x)\) como:

\[\operatorname{sen}(x)=\frac{2\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)}{1+\operatorname{tg}^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}\]

\[\cos(x)=\frac{1-\operatorname{tg}^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}{1+\operatorname{tg}^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}\]

No tienes que entender de dónde vienen estas ecuaciones de aquí arriba (requieren una trigonometría complicada), pero es importante que te aprendas ambas para los ejercicios.

Así, tenemos el siguiente \(d u\) para \(u=\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)\):

\[d u=\frac{1}{2} \sec ^{2}\left(\frac{x}{2}\right) d x\]

Sin embargo, \(\sec^{2}\left(\frac{x}{2}\right)=\left(1+\operatorname{tg}^{2}\left(\frac{x}{2}\right)\right)\). Entonces

\[d u=\frac{1}{2}\left(1+\operatorname{tg}^{2}\left(\frac{x}{2}\right)\right) d x\]

x¡Eso es! Ahora podemos ver una aplicación:

\[\int \frac{1}{2+\operatorname{sen}(x)} d x\]

Vamos a sustituir el seno por la forma que encontramos:

\[\int \frac{1}{2+\operatorname{sen}(x)} d x=\int \frac{1}{2+\frac{2 \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)}{1+\operatorname{tg}^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}} d x\]

\[=\int \frac{1}{\frac{2\left(1+\operatorname{tg}^{2}\left(\frac{x}{2}\right)\right)+2 \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)}{1+\operatorname{tg}^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}} d x=\int \frac{\left(1+\operatorname{tg}^{2}\left(\frac{x}{2}\right)\right) d x}{2 \operatorname{tg}^{2}\left(\frac{x}{2}\right)+2 \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)+2}\]

Reemplazando \(u=\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)\) y quitando el \(\left(1+\operatorname{tg}^{2}\left(\frac{x}{2}\right)\right) d x\) como \(2 d u\), ya que:

\[d u=\frac{1}{2}\left(1+\operatorname{tg}^{2}\left(\frac{x}{2}\right)\right) d x\]

Tenemos,

\[\int \frac{2 d u}{2 u^{2}+2 u+2}=\int \frac{d u}{u^{2}+u+1}\]

Completamos cuadrado con el término inferior:

\[\int \frac{d u}{u^{2}+u+1}=\int \frac{d u}{u^{2}+u+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}\]

\[=\int \frac{d u}{\left(u+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}}=\int \frac{\frac{d u}{\left(\frac{3}{4}\right)}}{\frac{\left(u+\frac{1}{2}\right)^{2}}{\left(\frac{3}{4}\right)}+1}=\frac{4}{3} \int \frac{d u}{\left(\frac{\left(u+\frac{1}{2}\right)}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)^{2}+1}\]

Sustituyendo el \(\frac{\left(u+\frac{1}{2}\right)}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\) por \(t\), tenemos

\[t=\frac{\left(u+\frac{1}{2}\right)}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

\[d t=\frac{2}{\sqrt{3}} d u \rightarrow d u=\frac{\sqrt{3}}{2} d t\]

Así,

\[\frac{4}{3} \int \frac{d u}{\left(\frac{\left(u+\frac{1}{2}\right)}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)^{2}+1}=\frac{4}{3} \int \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} d t}{t^{2}+1}\]

\[=\frac{4}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \int \frac{d t}{t^{2}+1}\]

Esta es la integral del arco tangente. Haciéndola y deshaciendo las sustituciones, tenemos:

\[\frac{2}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg}(t)=\frac{2}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg}\left(\frac{\left(u+\frac{1}{2}\right)}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)\]

\[=\frac{2}{\sqrt{3}} \operatorname{arctg}\left(\frac{\left(\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}\right)}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)+C\]

¡Vamos a los ejercicios!