Integrales Impropias - Límites Infinitos

¿Qué son las integrales impropias?

Bueno, el título allí arriba ya ha sido un spoiler genial. Básicamente, lo que estudiaremos aquí son integrales como:

\[\int_{a}^{\infty} f(x) d x\]

Eso es un tipo de integral impropia, cuando uno de los límites es infinito. Pero entendamos mejor lo que significa esta notación.

Mira esta función a continuación:

Si queremos calcular el área \(A\) entre la curva y el eje \(x\) en un intérvalo \([0, b]\) entonces tenemos:

\[A=\int_{0}^{b} f(x) d x\]

Pero tenga en cuenta que la línea \(y=0\) es una asíntota horizontal. Lo que significa que la curva nunca se encuentra con el eje \(x\), solo se acerca a ella cuando \(x \rightarrow+\infty\).

En este caso, si dejamos que \(b\) crezca sin limitación, tenemos:

\[A=\lim _{b \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x) d x\]

Entonces, así es como escribimos este tipo de integral impropia:

\[\lim _{b \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{\infty} f(x) d x\]

¿Cómo calcularla?

Si \(y=f(x)\) no toca el eje \(x\) cuando \(x\) va a \(\infty\):

Hacemos:

\[\int_{a}^{\infty} f(x) d x=\lim _{b \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x) d x\]

Cambiamos el límite superior por una variable cualquiera (denominada de \(b\)) y a continuación, hacemos que esta variable crezca indefinidamente.

Y también podemos tener una integral impropia en \(-\infty\), ¡es lo mismo!

Si \(y=f(x)\) no toca el eje \(x\) cuando \(x\) va a \(-\infty\):

Hacemos:

\[\int_{-\infty}^{b} f(x) d x=\lim _{a \rightarrow-\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x\]

En ambos casos, podemos analizar la convergencia de la integral:

• si existe el límite, es decir, si es un número finito, decimos que esta integral es convergente
• si al calcular el límite encontramos \(\pm \infty\), decimos que la integral es divergente

Por ejemplo, veamos si esta integral impropia es convergente:

\[\int_{-\infty}^{3} \frac{1}{(-x+5)^{2}} d x\]

Tenemos una integral impropia con un límite de integración inferior \(-\infty\), entonces hacemos:

\[\int_{-\infty}^{3} \frac{1}{(-x+5)^{2}} d x=\lim _{a \rightarrow-\infty} \int_{a}^{3} \frac{1}{(-x+5)^{2}} d x\]

La integral indefinida es:

\[\int \frac{1}{(-x+5)^{2}} d x=\frac{1}{-x+5}+C\]

(No entraré en detalles aquí, pero es tranquilo de calcular, sólo tienes que utilizar la sustitución \(u=-x+5\)),

Utilizando el Teorema fundamental del cálculo:

\[\lim _{a \rightarrow-\infty} \int_{a}^{3} \frac{1}{(-x+5)^{2}} d x=\lim _{a \rightarrow-\infty}\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{5-a}\right]=\frac{1}{2}\]

Ahora simplemente aplique el límite:

\[\lim _{a \rightarrow-\infty} \int_{a}^{3} \frac{1}{(-x+5)^{2}} d x=\lim _{a \rightarrow-\infty}\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{5-a}\right]=\frac{1}{2}\]

Dado que obtenemos un número finito, decimos que esta integral es convergente.

Dos límites infinitos

Ahora veamos este tipo de integral impropia:

\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x\]

No hay mucho misterio, solo une las dos que vimos antes:

\[\int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=\int_{-\infty}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{\infty} f(x) d x\]

Donde \(c\) es cualquier constante.

Veamos un ejemplo: determinemos si el área de la región sombreada en la figura a continuación se puede representar con un número finito.

Tenga en cuenta que \(y=1\) es una asíntota horizontal.

En este caso, el área de la región viene dada por:

\[A=\int_{-\infty}^{+\infty}(1-f(x)) d x\]

Es decir, queremos saber si esta integral allí arriba es convergente o divergente.

Usando la definición:

\[\int_{-\infty}^{\infty}(1-f(x)) d x=\int_{-\infty}^{c}(1-f(x)) d x+\int_{c}^{\infty}(1-f(x)) d x\]

Para resolver esto, calculamos la integral indefinida:

\[\int(1-f(x)) d x=\int\left(1-\frac{x^{2}-4}{x^{2}+4}\right) d x\]

\[=\int \frac{x^{2}+4-\left(x^{2}-4\right)}{x^{2}+4} d x=\int \frac{8}{x^{2}+4} d x\]

\[\Rightarrow \int(1-f(x)) d x=4 \operatorname{arctg}\left(\frac{x}{2}\right)+C\]

Aplicando el Teorema fundamental del cálculo:

\[\int_{-\infty}^{c}(1-f(x)) d x=\left.\lim _{a \rightarrow-\infty} 4 \operatorname{arctg}\left(\frac{x}{2}\right)\right|_{a} ^{c}\]

\[=\lim _{a \rightarrow-\infty}\left[4 \operatorname{arctg}\left(\frac{c}{2}\right)-4 \operatorname{arctg}\left(\frac{a}{2}\right)\right]\]

Asimismo, tenemos

\[\int_{c}^{+\infty}(1-f(x)) d x=\left.\lim _{b \rightarrow+\infty} 4 \operatorname{arctg}\left(\frac{x}{2}\right)\right|_{c} ^{b}\]

\[=\lim _{b \rightarrow+\infty}\left[4 \operatorname{arctg}\left(\frac{b}{2}\right)-4 \operatorname{arctg}\left(\frac{c}{2}\right)\right]\]

Aplicando los límites:

\[\lim _{a \rightarrow-\infty}\left[4 \operatorname{arctg}\left(\frac{c}{2}\right)-4 \operatorname{arctg}\left(\frac{a}{2}\right)\right]=4 \operatorname{arctg}\left(\frac{c}{2}\right)+\frac{4 \pi}{2}\]

\[\lim _{b \rightarrow+\infty}\left[4 \operatorname{arctg}\left(\frac{b}{2}\right)-4 \operatorname{arctg}\left(\frac{c}{2}\right)\right]=\frac{4 \pi}{2}-4 \operatorname{arctg}\left(\frac{c}{2}\right)\]

Obs: Recordando que

\[\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \operatorname{arctg}(x)=\pm \frac{\pi}{2}\]

Finalmente, volviendo a nuestra integral impropia:

\[\int_{-\infty}^{\infty}(1-f(x)) d x=\int_{-\infty}^{c}(1-f(x)) d x+\int_{c}^{\infty}(1-f(x)) d x\]

\[\int_{-\infty}^{\infty}(1-f(x)) d x=4 \operatorname{arctg}\left(\frac{c}{2}\right)+\frac{4 \pi}{2}+\frac{4 \pi}{2}-4 \operatorname{arctg}\left(\frac{c}{2}\right)\]

\[\int_{-\infty}^{\infty}(1-f(x)) d x=4 \pi\]

El resultado de la integral es un número finito. ¡Por lo tanto, el área de la región \(R\) puede ser representada por un número finito! En otras palabras, ¡la integral es convergente!