Integrales Impropias – Discontinuidad de Funciones

Integrando con Discontinuidades

Ahora veamos más un tipo de integral impropia, que ocurre cuando la función que estamos integrando es discontinua.

Si \(f(x)\) es continua en \([a, b)\) y tiene una discontinuidad infinita en \(b\):

\[\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{t \rightarrow b^{-}} \int_{a}^{t} f(x) d x\]

Si \(f(x)\) es continua en \((a, b]\) y tiene una discontinuidad infinita en \(a\):

\[\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{t \rightarrow a^{+}} \int_{t}^{b} f(x) d x\]

Si \(f(x)\) tiene una discontinuidad infinita en \(c\) en el medio del intervalo \([a, b]\) y las integrales \(\int_{a}^{c} f(x) d x\) y \(\int_{c}^{b} f(x) d x\) son convergentes, es decir, dan como resultado un número, entonces:

\[\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x=\lim _{t \rightarrow c} \int_{a}^{t} f(x) d x+\lim _{t \rightarrow c^{+}} \int_{t}^{b} f(x) d x\]

Los problemas de integrales impropias con integrandos discontinuos pueden parecer problemas de integrales definidas inicialmente, por lo que el primer paso es identificar si \(f(x)\) tiene una discontinuidad infinita en el intervalo \([a, b]\).

Entonces resuelvo la integral, utilizo el Teorema Fundamental del Cálculo y calculo el límite. Mira un ejemplo:

\[\int_{0}^{2} \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} d x\]

El denominador se anula en \(x=1\), entonces este es un punto de discontinuidad. Y tenemos:

\[\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}}=+\infty\]

Nota: Debido al exponente \(2\), el denominador siempre tiende a cero para valores positivos. ¿Lo ves?

Esta discontinuidad infinita ocurre entre los límites de integración dados, \(0\) y \(2\).

Entonces dividamos el intervalo de integración en dos, así:

\[\int_{0}^{2} \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} d x=\int_{0}^{1} \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} d x+\int_{1}^{2} \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} d x\]

Pero si hago \(x=1\) directamente tendremos un problema a causa de la discontinuidad. Lo que quiero es el límite cuando \(x\) está muy cerca de \(1\), por la derecha y por la izquierda. ¿Entendiste? Hagamos

\[\lim _{t \rightarrow 1-} \int_{0}^{t} \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} d x+\lim _{r \rightarrow 1+} \int_{r}^{2} \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} d x\]

La integral indefinida es

\[\int \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} d x=3 \sqrt[3]{x-1}+C\]

Usando el Teorema Fundamental del Cálculo y aplicando límites:

\[\int_{0}^{t} \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} d x=3 \sqrt[3]{t-1}-3 \sqrt[3]{0-1}=3 \sqrt[3]{t-1}-3 \sqrt[3]{-1}\]

\[\Rightarrow \lim _{t \rightarrow 1-} \int_{0}^{t} \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} d x=\lim _{t \rightarrow 1-}[3 \sqrt[3]{t-1}-3 \sqrt[3]{-1}]=0+3=3\]

La otra integral será muy similar:

\[\int_{r}^{2} \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} d x=3 \sqrt[3]{2-1}-3 \sqrt[3]{r-1}=3 \sqrt[3]{1}-3 \sqrt[3]{r-1}\]

\[\Rightarrow \lim _{r \rightarrow 1+} \int_{r}^{2} \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} d x=\lim _{r \rightarrow 1+}[3 \sqrt[3]{1}-3 \sqrt[3]{r-1}]=3-0=3\]

Juntando las dos:

\[\lim _{t \rightarrow 1^{-}} \int_{0}^{t} \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} d x+\lim _{r \rightarrow 1+} \int_{r}^{2} \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} d x=6\]

Como existen los dos límites, esta integral impropia es convergente y podemos escribir:

\[\int_{0}^{2} \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} d x=6\]

¡Eso es todo amigos, vamos a practicar!