Hallar una Integral usando la Suma de Riemann

Sumas de Riemann derecha e izquierda

Vimos al principio del tema de las integrales que usamos rectángulos para aproximar las integrales.

Teníamos que la integral era el límite de la suma de Riemann cuando tomábamos los rectángulos muy pequeños en grandes cantidades.

\[\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\int_{a}^{b} f(x) d x\]

Ahora vamos a aprender a escribir la suma de Riemann, es decir, el \(S_{n}\).

¡Tenemos que ir tras la suma de los rectángulos!

Volviendo al ejemplo que vimos al principio del tema de integrales.

En este caso, queremos calcular el área bajo la función \(f(x)=x^{2}\) entre \(x=0.6\) y \(x=1.4\).

Vimos que podemos tomar tantos rectángulos como queramos, solo depende de si tomamos los rectángulos por arriba o por abajo, es decir, rectángulos más grandes que el área o rectángulos más pequeños que el área.

De hecho, podemos ver estos rectángulos de otra manera, que son por rectángulos a la izquierda y rectángulos a la derecha. Ahora todo se confundió, ¿verdad?

Repasemos las dos situaciones que tenemos. Mira que el rango va de \(0.6\) a \(1.4\).

Lo primero que vamos a hacer es encontrar esa base, en la figura tenemos \(4\) rectángulos, por lo que la base será:

\[\operatorname {Base}=\frac{1.4-0.6}{4}=\frac{0.8}{4}=0.2\]

A menudo usamos \(\Delta x\) para representar esa base.

Para encontrar el área de los rectángulos ahora falta su altura.

En la primera figura, el rectángulo tiene la altura siendo la función al comienzo de esa base, por ejemplo:

La altura del primero es \(f(0.6)\), la altura del segundo es \(f(0.8)\), la del tercero es \(f(1)\) y la del cuarto es \(f(1.2)\).

El área de cada rectángulo será

\[\text {Área del Primero} → f(0.6) \cdot 0.2\]

\[\text {Área del Segundo} → f(0.8) \cdot 0.2\]

\[\text {Área del Tercero} → f(1) \cdot 0.2\]

\[\text {Área del Cuarto} → f(1.2) \cdot 0.2\]

Aquí nuestra suma de Riemann será

\[S_{4}=f(0.6) \bullet 0.2+f(0.8) \bullet 0.2+f(1) \bullet 0.2+f(1.2) \bullet 0.2\]

Pero esta suma fue \(4\) para rectángulos, como lo hacemos para \(n\)? Tenemos que cambiar la base y los valores de la función

\[\Delta x=\frac{1.4-0.6}{n}=\frac{0.8}{n}\]

Ok, pero ¿qué pasa con las alturas de los rectángulos? La primera será \(f(0.6)\), la siguiente tengo que agregar \(\Delta x\) a \(0.6\) y volver a hacerlo. Siendo

\[\text {Área del Primero} → f(0.6) \bullet \frac{0.8}{n}\]

\[\text {Área del Segundo} → f\left(0.6+\frac{0.8}{n}\right) \bullet \frac{0.8}{n}\]

\[\text {Área del Tercero} → f\left(0.6+2 \frac{0.8}{n}\right) \bullet \frac{0.8}{n}\]

\[\text {Área del Cuarto} → f\left(0.6+3 \frac{0.8}{n}\right) \bullet \frac{0.8}{n}\]

\[\text {Área n - ésimo} → f\left(0.6+(n-1) \frac{0.8}{n}\right) \bullet \frac{0.8}{n}\]

\[S_{n}=f(0.6) \bullet \frac{0.8}{n}+f\left(0.6+\frac{0.8}{n}\right) \cdot \frac{0.8}{n}+\ldots\]

\[+f\left(0.6+(n-1) \frac{0.8}{n}\right) \cdot \frac{0.8}{n}\]

Tenemos que reemplazar la función \(f(x)=x^{2}\) aquí, pero como solo estamos mostrando las cuentas, me iré con \(f\). La suma es realmente horrible, pero solo con ejercicios podremos ser buenos en esto.

Esta fórmula se puede escribir de forma general, queremos la suma de Riemann de \(a\) a \(b\) de \(f(x)\):

Primero el valor de \(\Delta x\)

\[\Delta x=\frac{b-a}{n}\]

Ahora la suma

\[S_{n}=f\left(x_{0}\right) \bullet \Delta x+f\left(x_{1}\right) \cdot \Delta x+f\left(x_{2}\right) \cdot \Delta x+f\left(x_{3}\right) \cdot \Delta x+\ldots\]

\[+f\left(x_{n-1}\right) \cdot \Delta x\]

Donde

\[x_{i}=a+i \Delta x\]

Aquí comenzamos con \(i=0\) y terminamos con \(i=n-1\).

Observe que para las alturas de los rectángulos usamos \(f(x)\) al comienzo del rectángulo, es decir, a su izquierda. Esto es lo que llamamos Suma de Riemann por la izquierda.

Al hacer algunas cuentas bastante similares, llegamos a la fórmula de la Suma de Riemann por la derecha. Vamos a ponerlo en orden aquí para ayudarte

Primero \(\Delta x\)

\[\Delta x=\frac{b-a}{n}\]

Suma de Riemann por la izquierda

Ahora la suma

\[S_{n}=f\left(x_{0}\right) \bullet \Delta x+f\left(x_{1}\right) \cdot \Delta x+f\left(x_{2}\right) \cdot \Delta x+f\left(x_{3}\right) \cdot \Delta x+\ldots\]

\[+f\left(x_{n-1}\right) \cdot \Delta x\]

Donde

\[x_{i}=a+i \Delta x\]

Aquí comenzamos con \(i=0\) y terminamos con \(i=n-1\).

Suma de Riemann por la derecha

\[S_{n}=f\left(x_{1}\right) \cdot \Delta x+f\left(x_{2}\right) \cdot \Delta x+f\left(x_{3}\right) \cdot \Delta x+\ldots+f\left(x_{n}\right) \cdot \Delta x\]

Donde

\[x_{i}=a+i \Delta x\]

Aquí comenzamos con \(i=1\) y terminamos en \(i=n\).

Escribiendo la suma de Riemann por el Símbolo de Sumatorio

Una forma que puede aparecer en tu prueba es la suma con el sumatorio.

Comencemos por comprender este símbolo

\[\sum_{i=0}^{n} i^{2}\]

Este símbolo representa la suma de algunos términos. Estos términos están dados por la fórmula que contiene, y variando los índices de \(i=0\) a \(n\). Sería

\[\sum_{i=0}^{n} i^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}\]

Ahora vamos a escribir la suma de Riemann por sumatorio:

Suma por la izquierda

\[S_{n}=\sum_{i=0}^{n-1} f(a+i \Delta x) \Delta x\]

Suma por la derecha

\[S_{n}=\sum_{i=1}^{n} f(a+i \Delta x) \Delta x\]

¿Cuál suma debemos elegir?

Aquí necesitamos un detalle importante, una de las sumas tendrá valor más grande que la Integral, mientras que la otra tendrá un valor más pequeño. Para saber esto, debemos prestar atención a si la función es creciente o no.

Cada vez que tengamos una función creciente, el orden será

\[S_{\text {derecha}}>A>S_{\text {izquierda}}\]

Cuando tengamos una función decreciente, este orden se invertirá

\[S_{\text {izquierda}}>A>S_{\text {derecha}}\]

¿Ok?

Elegir izquierda o derecha depende de lo que requiera el problema y de la función que tengas.

Encontrando la Integral por la Suma de Riemann 

¡Aquí veremos cómo convertir el sumatorio de la suma de Riemann a la integral!

Tomemos un ejemplo

Dado el siguiente límite de la suma de Riemann

\[\lim _{n \rightarrow+\infty} S_{n}=\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{i^{4}}{n^{5}}\]

Transforme en la integral equivalente y calcule el valor de la integral en el rango \([0,1]\).

Lo primero es entender bien esta suma de Riemann. Tenemos el intervalo de integración, así que tenemos \(a\) y \(b\). Entonces podemos encontrar \(\Delta x\)

\[\Delta x=\frac{1-0}{n}=\frac{1}{n}\]

Nuestra suma es

\[S_{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{i^{4}}{n^{5}}\]

El tipo de dentro del sumatorio puede ser siempre encontrado por

\[f(a+i \Delta x) \bullet \Delta x\]

Así que tenemos que

\[f(a+i \Delta x) \bullet \Delta x=\frac{i^{4}}{n^{5}}\]

Vamos a cambiar los valores de \(a\), \(b\) y \(\Delta x\)

\[f\left(0+\frac{i}{n}\right) \frac{1}{n}=\frac{i^{4}}{n^{5}}\]

Aquí tenemos que buscar relaciones para encontrar lo que falta para la integral, en este ejemplo es \(f(x)\), pero podría ser el intervalo de integración también.

Tenemos

\[f\left(\frac{i}{n}\right)=\frac{i^{4}}{n^{4}}\]

Ahora llamemos al tipo dentro de \(f\) de \(x\)

\[\frac{i}{n}=x \rightarrow i=x n\]

Entonces nuestra función será

\[f(x)=\frac{x^{4} n^{4}}{n^{4}}=x^{4}\]

Y así, tenemos nuestra función \(f(x)\)

Phew, cosa seria, pero encontramos el valor de la función, ahora solo integre y listo

\[\lim _{n \rightarrow+\infty} S_{n}=\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{i^{4}}{n^{5}}=\int_{0}^{1} x^{4} d x\]

La integral será

\[\int_{0}^{1} x^{4} d x=\left.\frac{x^{5}}{5}\right|_{x=0} ^{1}=\frac{1^{5}}{5}-\frac{0^{5}}{5}=\frac{1}{5}\]

Esto es básicamente lo que debemos hacer en estos casos, vamos a repasar el paso a paso

Paso 1: encontrar \(\Delta x\) en función de \(a\), \(b\) y \(n\)

Paso 2: hacer \(f(a+i \Delta x) \Delta x\) igual al valor dentro del sumatorio, sustituyendo \(a\), \(b\) y \(\Delta x\) que tengamos.

Paso 3: buscar relaciones para encontrar valores que faltan para la integral

Paso 4: resolver la integral