Introducción al M.A.S

¿Que es el M.A.S?

M.A.S significa Movimiento Armónico Simple. 

¿Eso qué quiere decir?

El movimiento armónico es un movimiento oscilatorio , es decir, que presenta algunas propiedades que se repiten con el tiempo (como la posición \(x(t)\), la velocidad \(v(t)\), la aceleración \(a(t)\), etc).

La estructura de un movimiento armónico siempre será dada por las funciones de seno o coseno (esto que generará las repeticiones). Por ejemplo:

\(x(t)=2 \cos (3 t)\)

\(y(t)=\operatorname{sen}(t)\)

Y por qué se llama movimiento armónico simple?

Movimiento armónico simple significa que es un movimiento armónico que no tiene fricción. También existen las Oscilaciones Amortiguadas, que son movimientos armónicos amortiguados. Pero por ahora veamos solo M.A.S.

Ecuación del M.A.S

Como hemos visto, la ecuación de M.A.S va a ser una función seno o una función coseno.

En general, tendrá el siguiente formato:

\(x(t)=A \cos (\omega t+\varphi)\)

O:

\(x(t)=A \operatorname{sen}(\omega t+\varphi)\)

Esta es la llamada ecuación de posición del M.A.S

En esta ecuación,tenemos:

\(A\): Representa la amplitud del movimiento.

\(\omega\): Representa la frecuencia angular.

\(\varphi\): Representa la fase del movimiento.

Pero…,¿qué significa cada una de esas cosas?

Bueno, vamos a entenderlo mejor en los ejercicios, pero por ahora, básicamente tenemos lo siguiente:

\(A\): Es la mayor “distancia” posible que el objeto que está ejecutando el M.A.S puede tener del origen.

\(\omega\): Es una especie de velocidad angular. Se da en \(r a d / s\). La expresión general para ella es:

\(\omega=\frac{2 \pi}{T}=2 \pi f\)

Donde \(T\) es el período del movimiento, es decir, el tiempo de un ciclo total.

La frecuencia es la inversa del periodo:

\(f=\frac{1}{T}\)

\(\varphi\): Es el ángulo inicial del movimiento. Tiene que ver con la posición inicial del objeto

Velocidad y aceleración

¿Y cómo son las ecuaciones de velocidad y aceleración para los M.A.S?

Muy simple, sólo tenemos que derivar (:

Derivando una vez:

\(x(t)=A \cos (\omega t+\varphi) \rightarrow \frac{d x(t)}{d t}=-\omega A \operatorname{sen}(\omega t+\varphi)\)

\(\therefore\)

\(v(t)=-\omega A \operatorname{sen}(\omega t+\varphi)\)

Tenga en cuenta que, como el seno varía entre -1 y +1, entonces tenemos la velocidad máxima:

\(v_{\max }=\omega A\)

Y el objeto varía entre las velocidades \(\omega A\) y \(-\omega A\).

Para la aceleración, derivamos otra vez:

\(\frac{d v(t)}{d t}=-\omega^{2} A \cos (\omega t+\varphi)\)

La aceleración máxima es:

\(a_{\max }=\omega^{2} A\)

Desfase entre la velocidad y la aceleración

Aquí vamos a ver que hay un desfase entre las funciones seno y coseno

Ejemplo:

Cuando \(\cos (0)=1\), tenemos que \(\operatorname{sen}(0)=0\)

O cuando \(\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\), tenemos que \( \cos \left(\frac{\pi}{2}\right)=0 \).

Eso quiere decir que las funciones están desfasadas por \(\frac{\pi}{2}\).

Esto también va a suceder con la velocidad y la aceleración:

• Cuando la aceleración sea máxima, la velocidad será mínima (cero).

• Cuando la velocidad sea máxima, la aceleración será mínima (cero).

Posiciones de velocidad nula y aceleración nula

Vamos a tratar de averiguar las posiciones donde la velocidad de un M.A.S se convierte en nula intuitivamente. Vea la figura: 

La bola azul se mueve a la izquierda, en M.A.S, a velocidad cero. Para completar el Ciclo de M.A.S, debe llegar hasta el extremo izquierdo y volver.

Entonces…,¿dónde se anulará la velocidad?

En el extremo \(-A\), pues allí la velocidad cambia de dirección.

Esto sucede también al extremo derecho. Así que podemos decir que:

\(v(x=A)=v(x=-A)=0\)

Todo cool?

Bueno, como vimos antes, donde hay un mínimo de velocidad hay un máximo de aceleración. Así que:

La aceleración será máxima en \( x=A \text { e } x=-A \).

Repasemos el movimiento de la partícula. Como la velocidad se anula en los extremos, tenemos que el valor inicial de ella, en \(x=A\), será 0, y en \(x=-A\) también. Sin embargo, se mueve en esta trayectoria, por lo tanto, a partir de los extremos la velocidad tiende a crecer.

¿Dónde ocurre el máximo de velocidad?

En \(x=0\).

Por las razones que vimos antes, la aceleración se anula en \(x=0\).

Mira el resumen!!!

Vamos a hacer los ejercicios (: