Energía del M.A.S

¿Y cómo se comporta la energía en el M.A.S? Será que se conserva?

Sí, se conserva!

Bueno, primero vamos a analizar la ecuación de la energía potencial para un sistema masa-muelle en M.A.S 

Imaginemos un resorte de constante \(k\) y una masa \(m\) acoplada a él.

La energía potencial relacionada a este resorte cuando tiene un alargamiento (o desplazamiento) en \(x\) viene dada por:

\(E_{p}=\frac{k x^{2}}{2}\)

Pero como hemos visto antes,\(x\) puede expresarse como:

\(x(t)=A \cos (\omega t+\varphi)\)

¡Donde \(A\) es la amplitud máxima del movimiento!

Entonces podemos reescribir la ecuación de energía potencial como:

\(E_{p}=k \frac{(A \cos (\omega t+\varphi))^{2}}{2}=\frac{k A^{2} \cos ^{2}(\omega t+\varphi)}{2}\)

¡Genial! Ahora vamos a analizar la energía cinética del movimiento. En el curso de mecánica aprendemos que la energía cinética puede ser calculada por:

\(E_{c}=\frac{m v^{2}}{2}\)

Pero ya hemos visto que, para M.A.S, la velocidad se calcula a través de esta expresión:

\(v(t)=-\omega A \operatorname{sen}(\omega t+\varphi)\)

Entonces, podemos reescribir la ecuación de la energía cinética así:

\(E_{c}=\frac{m(\omega A \operatorname{sen}(\omega t+\varphi))^{2}}{2}=\frac{m \omega^{2} A^{2} \operatorname{sen}^{2}(\omega t+\varphi)}{2}\)

Como \(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}} \rightarrow k=m \omega^{2}\)!. De esta manera, sustituyendo en la ecuación de arriba:

\(E_{c}=\frac{k A^{2} \operatorname{sen}^{2}(\omega t+\varphi)}{2}\)

Ahora, si sumamos la energía cinética y la energía potencial:

\(E_{p}+E_{c}=\frac{k A^{2} \cos ^{2}(\omega t+\varphi)}{2}+\frac{k A^{2} \operatorname{sen}^{2}(\omega t+\varphi)}{2}=\frac{k A^{2}}{2}\left(\cos ^{2}(\omega t+\varphi)+\operatorname{sen}^{2}(\omega t+\varphi)\right)\)

Recuerdas que \(\cos ^{2} \theta+\operatorname{sen}^{2} \theta=1\)?

Sabiendo eso, podemos continuar:

\(\frac{k A^{2}}{2}\left(\cos ^{2}(\omega t+\varphi)+\operatorname{sen}^{2}(\omega t+\varphi)\right)=\frac{k A^{2}}{2}\)

Mira que interesante: descubrimos que la suma de la energía cinética con la potencial para un determinado desplazamiento \(x\) es igual a la energía potencial máxima, es decir, aquella que corresponde al desplazamiento \(x=A\) (:

Y al final, la expresión que debes recordar es esta:

\(E_{\text {total}}=E_{\text {potencial}}+E_{\text {cinética}}\)

\(\frac{k A^{2}}{2}=\frac{k x^{2}}{2}+\frac{m v^{2}}{2}\)

Esa es la ecuación de conservación de la energía para M.A.S.

Ahora, observemos cómo la energía varía con respecto a la posición de nuestra Masa en M.A.S:

Algunos puntos que tenemos que señalar:

• Cuando la energía cinética es máxima, la energía potencial es nula y viceversa;

• Cuando \(x=0\), la energía cinética es máxima e igual a la energía total;

• Cuando \(x=\pm A\), la energía potencial es máxima e igual a la energía total.

Hagamos algunos ejercicios para practicar. (: