Graficos del M.A.S

Hasta ahora hemos visto ecuaciones que describen  el M.A.S, que son ecuaciones de este tipo:

Ecuación de posición:

\(x(t)=A \cos (\omega t+\varphi)\)

Ecuación de velocidad:

\(v(t)=-\omega A \operatorname{sen}(\omega t+\varphi)\)

Ecuación de aceleración:

\(a(t)=-\omega^{2} A \cos (\omega t+\varphi)\)

*Recordando que en la ecuación de posición podría aparecer un seno también, ¡sin problemas!

Así que, por ejemplo, si tuviéramos el movimiento:

\(x(t)=4 \cos \left(2 \pi t+\frac{\pi}{2}\right)\)

Sabríamos que \( \omega=2 \pi \);\(\varphi=\frac{\pi}{2}\);\(A=4\).¿Pero cómo quedaría el gráfico de este movimiento?

Para ensamblar el gráfico, nuestra mayor preocupación es encontrar los puntos de máximo/mínimo y donde la función vale \(0\). Básicamente, vamos reemplazando los valores en \(t\) y luego conectamos los puntos.Aquí, en el ejemplo:

\( t=0 \rightarrow x(0)=0 \). Entonces, ya sabemos que el gráfico pasa por el origen.

\(t=\frac{1}{4} \rightarrow x\left(\frac{1}{4}\right)=-4\)

\(t=\frac{1}{2} \rightarrow x\left(\frac{1}{2}\right)=0\)

\(t=\frac{3}{4} \rightarrow x\left(\frac{3}{4}\right)=4\)

\(t=1 \rightarrow x(1)=0\)

Ahora sólo tenemos que conectar los puntos y repetir esto hasta que estemos satisfechos jajaja.

Mira cómo quedaría nuestro gráfico:

¡Ahora ya sabemos montar el gráfico! Pero ¿y si lo interpretamos? Bueno, vamos a ver las características más importantes de él, para así salir de aquí sabiendo todo.

Características generales

Los gráficos seguirán el patrón seno o coseno, como en los ejemplos abajo:

En el segundo gráfico, tenemos una marca \(A\): Esa es nuestra amplitud - mayor distancia alcanzada en \(x\).

En este ejemplo, usamos un gráfico de la posición. Si fuera un gráfico de la velocidad o aceleración, tendríamos, en lugar de \(A\), la velocidad máxima o aceleración máxima, respectivamente.

Período

El período es el intervalo de tiempo que tarda un M.A.S en repetir un ciclo.

Este ciclo por lo general tendrá una de estas dos formas:

Así:

O así:

Bien, para encontrar el período sólo tienes que tomar el intervalo de tiempo entre los extremos

Nota: Si el gráfico está desplazado (con una fase), intente visualizar estos espacios en el gráfico desplazado también. Lo importante es recordar que el período siempre genera un ciclo completo.

A partir del valor del período, puede calcular la frecuencia angular o la de oscilación:

\(\omega=\frac{2 \pi}{T}\)

\(f=\frac{1}{T}\)

Fase

¿Y si el gráfico no comienza en 0 o en amplitud? Y si comienza así:

En este caso, tendremos una constante de fase \(\varphi\) diferente de 0

Entonces, si la función es del tipo:

\(a(t)=a_{m á x} \cos (\omega t+\varphi)\)

Y el valor en \(t=0\) para \(a_{0}\), tendremos que hacer:

\(a(0)=a_{m {a} x} \cos (\varphi)=a_{0} \rightarrow \cos (\varphi)=\frac{a_{0}}{a_{m a x}} \rightarrow \varphi=\arccos \left(\frac{a_{0}}{a_{\max }}\right)\)

Y así descubriremos el valor de nuestra constante de fase.

Movimiento circular en M.A.S 

¿Sabía usted que un M.A.S puede ser interpretado como la proyección de un M.C.U (movimiento circular uniforme)? ¡Vamos a ver esto con calma! Echa un vistazo a la figura de abajo

La figura representa un carro en una montaña rusa, que está ejecutando un M.C.U. La sombra de este M.C.U, en el suelo, es un M.A.S.

Pero entonces, ¿cómo deducir la ecuación del M.A.S de un M.C.U?

Veamos esta otra figura para que quede más claro:

La partícula roja está realizando un M.C.U. La partícula negra un M.A.S. Por el triángulo rectángulo de la figura, podemos notar que:

\(x=r \cos \theta\)

Pero quién es \(r ?\) \(r\) es la amplitud del M.A.S, que es igual al radio del M.C.U. Entonces:

\(r=A\)

Y \(\theta ?\) \(\theta\) es dado por:

\(\theta=\omega t\)

Dónde ese \(\omega\) es la velocidad angular en el M.C.U y la frecuencia angular en el M.A.S. Entendiste? \(\omega\)  tiene significado distinto para cada movimiento.

Así:

\(x=A \cos (\omega t)\)

Pero allí consideramos que el movimiento inicia en el \(\theta_{0}=0\). Si comienza con una fase inicial, tendremos:

\(\theta_{0}=\varphi\)

Así:

\(x(t)=A \cos (\omega t+\varphi)\)

Y listo, llegamos a partir del triángulo rectángulo de la figura del M.C.U, en la ecuación del M.A.S.

#HagamosLosEjercicios!