Oscilador Lineal Masa-Resorte

Bueno, ¿cómo sería un oscilador lineal masa-resorte? Sería un esquema de este tipo:

Podemos apreciar un bloque pegado a un resorte realizando un movimiento oscilatorio, que puede ser descrito como un movimiento armónico simple (wow, una buena aplicación del M.A.S) 😊 Entonces, la siguiente ecuación sirve para describir su movimiento:

\(x(t)=A \cos (\omega t+\varphi)\)

Y en un oscilador masa-resorte podemos usar algunas fórmulas para relacionar la constante de un resorte,\(k\),con las características del movimiento, como la frecuencia angular, la masa del bloque, etc

Vamos a ver cómo llegar a estas fórmulas, pero no te preocupes que lo haremos a través del  mismo paso a paso de siempre. En gran parte de los ejercicios se acaba utilizando sólo las fórmulas que ya sabemos de memoria. ¡Quédate conmigo y todo saldrá bien! Jejeje

Pero antes de eso, echemos un vistazo al concepto de fuerza elástica.

Fuerza Elástica

La fuerza elástica viene dada por:

\(F_{e l}=-k x\)

Por qué el \(" -"?\)

Porque la fuerza elástica siempre será contraria a la elongación. Ejemplo: si tiras de un resorte hacia la derecha, se generará una fuerza elástica hacia la izquierda.

Continuando…

EDO del M.A.S

La EDO del M.A.S es la siguiente:

\(\ddot{x}+\omega^{2} x=0\)

¿Cómo llegamos a esa ecuación?

Recuerda que vimos que la aceleración en el M.A.S viene dada por \(-\omega^{2} x ?\)

Entonces, usando la definición de aceleración instantánea:

\(a=\ddot{x}=-\omega^{2} x \rightarrow \ddot{x}+\omega^{2} x=0\)

En el caso del sistema masa-resorte, veremos que esta ecuación también puede ser escrita por

\(\ddot{x}+\left(\frac{k}{m}\right) x=0\)

¿Pero ahora? ¿Cómo llegamos a esta segunda ecuación?

Consideremos un sistema de masa-resorte oscilando alrededor de la posición de equilibrio:

Vamos a analizar siempre las fuerzas actuantes en el bloque en un instante genérico:

Sólo tenemos la fuerza elástica (normal y peso se anulan). Entonces la fuerza resultante, que es horizontal, es dada por:

\(F_{R}=F_{e l}\)

\(\Rightarrow F_{R}=k x\)

Listo!

Ahora sólo hay que reemplazarlo en la Segunda Ley de Newton:

\(F_{R}=m a\)

Sólo que la aceleración es la derivada segunda de la posición:

\(a=\ddot{x}\)

Sustituyendo:

\(F_{R}=m a\)

\(\Rightarrow k x=m \ddot{x}\)

\(\Rightarrow m \ddot{x}-k x=0\)

\(\Rightarrow \ddot{x}-\frac{k}{m} x=0\)

¡Vaya! ¿Qué salió mal aquí?

Debería haber una signo de \(+\) allí para quedar igual a la ecuación del M.A.S, ¿no?

¡Esto sucedió porque no pusimos el signo correcto en la fuerza elástica!

Por lo tanto, poniendo la signo negativo:

\(F_{e l}=-k x\)

Reemplazando correctamente, ahora:

\(F_{R}=m a\)

\(\Rightarrow-k x=m \ddot{x}\)

\(\Rightarrow m \ddot{x}+k x=0\)

\(\Rightarrow \ddot{x}+\frac{k}{m} x=0\)

Ahora sí, llegamos a la ecuación diferencial del movimiento armónico simple del sistema masa-resorte!

Comparando la ecuación que encontramos con la ecuación de M.A.S:

\(\ddot{x}+\frac{k}{m} x=0\)

\(\ddot{x}+\omega^{2} x=0\)

Podemos notar que:

\(\omega^{2}=\frac{k}{m}\)

Entonces:

\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\)

¿Cool? Ese es el paso a paso que vas a utilizar si se le piden la EDO que describe el movimiento: analizar las fuerzas actuantes y utilizar la segunda Ley de Newton. Además de esa fórmula, utilizarás la del período y frecuencia:

\(\omega=\frac{2 \pi}{T}=\sqrt{\frac{k}{m}} \rightarrow T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)

\(f=\frac{1}{T} \rightarrow f=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}\)

Por ejemplo, si tenemos un sistema de masa-resorte con un bloque de \(20 k g\), en un movimiento que se repite cada \(2 s\) y quisiéramos saber la constante del resorte,\(k\), ¿cómo sería?

Primero, podemos ver que, si el movimiento se repite a cada \(2 s\), el período \(T\) sería igual a \(2 s\). Además, vimos que:

\(T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)

\(\therefore\)

\(k=m\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2}\)

Con eso:

\(k=20\left(\frac{4 \pi^{2}}{4}\right)=20 \pi^{2} \approx 197,4 N / m\)

Vamos a hacer los ejercicios! (: