Asociación de Resortes

¿Qué es una asociación entre resortes? Nada menos que una unión entre ellos.

Ahora vamos a aprender cómo hacer la asociación entre resortes de dos maneras: en paralelo y en serie.

Resortes en paralelo

Bueno, queremos encontrar la constante del resorte equivalente. ¿Cómo lo hacemos con resortes colocados en paralelo? Primero analicemos la figura:

Si tenemos \(n\) resortes en paralelo unidos a una superficie, tendremos una fuerza elástica resultante \(F_{r}\). Esta fuerza puede ser expresada por:

\(F_{r}=F_{1}+F_{2}+F_{3}+F_{4}+\ldots+F_{n}\)

Siendo \(k_{1}\) y \(x_{1}\) la constante y elongación del resorte 1, \(k_{2}\) y \(x_{2}\) la del resorte 2, \(k_{3}\) y \(x_{3}\) la del resorte 3, y así sucesivamente, podemos escribir:

\(k_{r} x_{r}=k_{1} x_{1}+k_{2} x_{2}+k_{3} x_{3}+k_{4} x_{4}+\ldots+k_{n} x_{n}\)

Sin embargo, echa un vistazo a la figura. Cómo están puestas en paralelo, la elongación de cada resorte debe ser la misma. Entonces: 

\(x_{r}=x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=\ldots=x_{n}=x\)

Por lo tanto, podemos reescribir la expresión como:

\(k_{r} x=k_{1} x+k_{2} x+k_{3} x+k_{4} x+\ldots+k_{n} x\)

Cortando \(x\) en ambos lados: 

\(k_{r}=k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}+\ldots+k_{n}\)

Y esa es la expresión para calcular la constante del resorte resultante en una asociación en paralelo. (: 

¡Entonces eso es todo, en ese caso sólo sumamos las constantes! 

Resortes en serie 

Bueno, muchachos, en este caso no tendremos una misma elongación para cada resorte. Sin embargo, tendremos una cosa en común entre ellas: la fuerza.

La fuerza es la misma para todos los resortes. Podemos escribir el valor de \(x\) en función de la fuerza y la constante del resorte de esta manera:

\(F=k x \leftrightarrow x=\frac{F}{k}\)

Siendo \(x_{r}\) la elongación resultante, podemos escribir:

\(x_{r}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+\ldots+x_{n}\)

Escribir en función de la fuerza y la constante:

\(\frac{F}{k_{r}}=\frac{F}{k_{1}}+\frac{F}{k_{2}}+\frac{F}{k_{3}}+\frac{F}{k_{4}}+\ldots+\frac{F}{k_{n}}\)

Cortando \(F\) por ambos lados:

\(\frac{1}{k_{r}}=\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2}}+\frac{1}{k_{3}}+\frac{1}{k_{4}}+\ldots+\frac{1}{k_{n}}\)

Y esa es la expresión que usamos para calcular el \(k_{r}\) en este caso.

Nota: Si se dan cuenta, la asociación de resortes sigue la lógica inversa a la asociación de resistencias eléctricas.

Bueno, este puede ser un truco: cuando la asociación es paralela, basta con recordar la asociación en serie de las resistencias! Lo contrario también es válido!  

Pero si no lo recuerdas, no te preocupes, sólo sigue la lógica de arriba.

En resumen:

En paralelo: \(k_{r}=k_{1}+k_{2}+k_{3}+\ldots k_{n}\)

En serie: \(\frac{1}{k_{r}}=\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2}}+\ldots+\frac{1}{k_{n}}\)

Resortes Cortados 

Ahora la situación es un poco diferente: y si tuviéramos un resorte, de longitud  \(L\), cortado en dos resortes de longitud \(L_{1}\) y \(L_{2}\)?

La diferencia de este caso a lo que estábamos viendo es que las longitudes son diferentes.

Así que es de esperar que las constantes de cada pieza sean diferentes, ¿verdad?

Mira el esquema anterior, después de haber cortado el resorte.Ahora piensa... y si unimos los dos pedazos de nuevo, ¿qué tipo de asociación estaríamos haciendo?

¡Estaríamos haciendo una asociación en serie!

¿Recuerdas que, en este caso, la fuerza será la misma para todos los resortes? Entonces podemos escribir que:

\(k_{1} L_{1}=k_{2} L_{2}\)

Y esa misma fuerza será igual a la fuerza del resorte unido (de longitud total) dada por:

\(F=k L\)

Así:

\(k_{1} L_{1}=k_{2} L_{2}=k L\)

¡Calma, estamos casi al final! Ahora ya tenemos todo lo que necesitamos. Basta con que utilicemos la igualdad arriba, que:

\(k_{1}=\frac{k L}{L_{1}}\)

\(k_{2}=\frac{k L}{L_{2}}\)

¡Vaya! ¿Y cuál es la mejor conclusión a la podemos que llegar? Es que el resorte más rígido será aquel que tenga la menor longitud, así como el resorte menos rígido será aquel que tenga la mayor longitud.

Es decir: la rigidez de la pieza es inversamente proporcional a su longitud

¿De acuerdo?

Hacemos los ejercicios? Hagámoslo!