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Osciladores Acoplados
Bueno, ya hemos estudiado asociación entre resortes, pero ¿cómo se comporta un sistema de este tipo?
Por ejemplo, si el problema te muestra un sistema así:
Es decir, dos carritos unidos por tres resortes.
Y, a partir de esa configuración loca, el enunciado te pregunta: “ ¿Cuáles son las frecuencias de vibración de ese sistema?”
Eso es lo que aprenderás aquí (:
¿Qué son las oscilaciones acopladas?
Bueno, el movimiento de un carrito influye en el otro, ¿verdad? Porque si un carro se mueve hacia adelante o hacia atrás, comprime o distiende los resortes. Esos resortes influyen en el movimiento del otro carro, ¿verdad?
Decimos que este sistema es un sistema de oscilaciones acopladas. El “acoplamiento” es precisamente ese efecto: Los carros no tienen movimientos independientes, sino que dependen uno del otro.
Como resolver ese problema
Vamos a desarrollar una forma de resolver este problema en cinco pasos:
-
Definir el sentido de los desplazamientos y definir las fuerzas del sistema.
-
Definir el sistema de EDO por la segunda Ley de Newton
-
Utilizar una solución estándar y ensamblar la matriz del sistema
-
Calcular la determinante
-
Resolver la ecuación de segundo grado o bicuadrada final, obteniendo las frecuencias.
¡Calma, no es tan complicado! Vamos a ver cada uno de estos pasos con tranquilidad.
Paso 1
Vamos a definir el sentido de los desplazamientos en el sistema. Para eso, vamos a adoptar un sentido positivo hacia la derecha, como siempre hacemos. La diferencia aquí es que vamos a considerar dos desplazamientos diferentes: \(x_{1}\) y \(x_{2}\):
Estos dos desplazamientos se consideran positivos, al principio, como se puede ver en el sentido de ellos en la figura, ¿de acuerdo? Esto facilitará el problema:
Vamos a analizar primero las fuerzas que actúan en el carro \(1\):
Al considerar como positivos los desplazamientos, la fuerza 1 será dada por la distensión del resorte 1, es decir:
\(F_{1}=-k x_{1}\)
¿Cierto? Como siempre, la fuerza elástica va en contra del desplazamiento. Pero ¿y la fuerza 2? Bueno, dejemos eso para el final, pues ella depende del otro carro.
Ahora, para el carrito \(2\):
Donde \(F_{3}\) viene dada por:
\(F_{3}=-k x_{2}\)
¿Cuál es el motivo de ese sentido? Bueno, de nuevo, al estar considerando los desplazamientos como positivos, el resorte 3 está siendo comprimido. Así, la fuerza tendrá sentido hacia el lado izquierdo, contrario al sentido positivo del eje \(x\).
Y ahora, la misteriosa fuerza \(F_{2}\)...
Bueno, esa fuerza afecta a los dos movimientos, por eso la dejé por último. Hagamos una consideración más: Que \(x_{2}\) es mayor que \(x_{1}\). Así, \("x"\) del resorte \(2\) será dada por:
\(x=x_{2}-x_{1}\)
Es decir, si los dos carritos van hacia a la derecha, por ejemplo, ¡el resorte entre ellos seguirá igual! Este resorte sólo se comprimirá o estirará si el desplazamiento de los dos carritos es distinto.
Si hay un desplazamiento entre los carritos \(\left(x_{1} \neq x_{2}\right)\), entonces actuará sobre ellos una fuerza, que es esa nuestra \(F_{2}\).Si sobre nuestro carrito \(1\) actúa una fuerza \(\vec{F}_{2}\) sobre nuestro carrito \(2\) actuará una fuerza \(-\vec{F}_{2}\), es decir, un par acción-reacción.
El módulo de la fuerza \(F_{2}\) viene dado por:
\(\left|F_{2}\right|=k\left|x_{2}-x_{1}\right|\)
Paso 2
Ahora tenemos que definir las EDO’s. Vamos a empezar con el carro 1: Mirando el sentido de las fuerzas que en él actúan, podemos decir que:
\(m_{1} \ddot{x_{1}}=-k x_{1}+k\left(x_{2}-x_{1}\right)\)
\(m_{1} \ddot{x_{1}}+k x_{1}-k\left(x_{2}-x_{1}\right)=0\)
Aislando \(x_{1}\) y \(x_{2}\):
\(m_{1} \ddot{x}_{1}+2 x_{1} k-k x_{2}=0\)
Haciendo lo mismo para el carrito 2:
\(m_{2} \ddot{x_{2}}=-k x_{2}-k\left(x_{2}-x_{1}\right)\)
\(m_{2} \ddot{x}_{2}+k x_{2}+k\left(x_{2}-x_{1}\right)=0\)
\(\therefore\)
\(m_{2} \ddot{x}_{2}+2 x_{2} k-k x_{1}=0\)
Así que tenemos el sistema:
\(\left\{\begin{array}{l} {m_{1} \ddot{x}_{1}+2 x_{1} k-k x_{2}=0} \\ {m_{2} \ddot{x}_{2}+2 x_{2} k-k x_{1}=0} \end{array}\right.\)
Paso 3
Ahora vamos a utilizar una solución estándar para manejar nuestro sistema. Este es nuestro as bajo la manga.
Como recordará, la solución de un M.A.S tiene la siguiente forma:
\(x(t)=A \cos (\omega t+\varphi)\)
Así que vamos a usar las soluciones:
\(x_{1}(t)=A_{1} \cos (\omega t+\varphi)\)
\(x_{2}(t)=A_{2} \cos (\omega t+\varphi)\)
¿Ambas con la misma frecuencia \(w\)? Sí, porque estamos buscando frecuencias de oscilación comunes para todo el sistema. Ahora, sustituyendo estas ecuaciones en el sistema de EDO’s y recordando que:
\(\ddot{x}(t)=-\omega^{2} A \cos (\omega t+\varphi)\)
Caray, pero ese \(A \cos (\omega t+\varphi)\) es \(x\), no?. Así que podemos reescribir
\(\ddot{x}(t)=-\omega^{2} x\)
Así, vamos a llegar al resultado de abajo:
\(\left\{\begin{array}{l} {-\omega^{2} m_{1} x_{1}+2 k x_{1}-k x_{2}=0} \\ {-\omega^{2} m_{2} x_{2}+2 k x_{2}-k x_{1}=0} \end{array}\right.\)
¿Okey? Ahora vamos a escribir esto en forma de matriz (puedes ir rápidamente a hacer un repaso de álgebra lineal, en caso de que no recuerdes) 😉 ):
\(\left[\begin{array}{cc} {-m_{1} \omega^{2}+2 k} & {-k} \\ {-k} & {-m_{2} \omega^{2}+2 k} \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l} {x_{1}} \\ {x_{2}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} {0} \\ {0} \end{array}\right]\)
Paso 4
Por la ecuación matricial de ahí arriba, podemos ver que existe la solución:
\(\left[\begin{array}{l} {x_{1}} \\ {x_{2}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} {0} \\ {0} \end{array}\right]\)
Pero no la queremos, ¿verdad? Porque eso generaría:
\(x_{1}=x_{2}=0\)
Para que eso no suceda, el determinante de la matriz mayor debe ser nulo. Así:
\(\operatorname{det}\left[\begin{array}{cc} {-m_{1} \omega^{2}+2 k} & {-k} \\ {-k} & {-m_{2} \omega^{2}+2 k} \end{array}\right]=0\)
Lo que nos lleva a la ecuación:
\(\left(-m_{1} \omega^{2}+2 k\right)\left(-m_{2} \omega^{2}+2 k\right)-k^{2}=0\)
\(\left(m_{1} m_{2}\right) \omega^{4}-2 k\left(m_{1}+m_{2}\right) \omega^{2}+4 k^{2}-k^{2}=0\)
\(\left(m_{1} m_{2}\right) \omega^{4}-2 k\left(m_{1}+m_{2}\right) \omega^{2}+3 k^{2}=0\)
La ecuación anterior se llama “ecuación de frecuencia” o ecuación característica del sistema.
Paso 5
Tenemos que resolver la ecuación bicuadrada. ¿Cómo lo hacemos? De la siguiente manera:
\(a^{4}+4 a^{2}+2=0\)
En la ecuación anterior, decimos que:
\(x=a^{2}\)
Y así se convierte en:
\(x^{2}+4 x+2=0\)
Así que usted resuelve esta ecuación de segundo grado y, con los valores de \(x\), usted haya \(a\):
\(a=\pm \sqrt{x}\)
Vamos a hacer eso con nuestra ecuación de frecuencia (sólo que aquí vamos a utilizar las variables \(x\) y \(\omega\):
\(\left(m_{1} m_{2}\right) \omega^{4}-2 k\left(m_{1}+m_{2}\right) \omega^{2}+3 k^{2}=0\)
\(x=\omega^{2}\)
\(\left(m_{1} m_{2}\right) x^{2}-2 k\left(m_{1}+m_{2}\right) x+3 k^{2}=0\)
\(\therefore\)
\(x=\left(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\right)\)
Donde:
\(b=-2 k\left(m_{1}+m_{2}\right)\)
\(a=m_{1} m_{2}\)
\(c=3 k^{2}\)
Así:
\(x=\frac{2 k\left(m_{1}+m_{2}\right) \pm \sqrt{2 k\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}-4 m_{1} m_{2}\left(3 k^{2}\right)}}{2 m_{1} m_{2}}\)
Con los valores de \(x\), usted calcula las frecuencias:
\(\omega=\pm \sqrt{x}\)
Preste atención a esta última ecuación: sólo tomaremos los valores positivos de \(\omega\). ¡Debemos hacerlo porque las frecuencias son, por definición, positivas!
¡Ufff! Terminamos. Sólo debes prestar atención a dos cosas:
Los valores de \(x\) necesitan ser positivos (a fin de cuentas, vas a quitar la raíz de ellos después)
Los valores de \(\omega\) también necesitan ser postivos:
En este ejemplo, nosotros hicimos que las masas fueran diferentes y las constantes de resortes iguales, pero su profesor puede inventar un montón de cosas!!! :O
Veamos cómo sería el caso con diferentes constantes de resorte:
Nuestro sistema de EDO se vería así:
\(m_{1} \ddot{x_{1}}=-k_{1} x_{1}+k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)\)
\(m_{2} \ddot{x_{2}}=-k_{3} x_{2}-k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)\)
Ya que sobre el bloque \(1\) actuarán los resortes de constantes elásticas \(k_{1}\) y \(k_{2}\) y sobre el bloque \(2\) actuarán los resortes de constantes elásticas \(k_{2}\) y \(k_{3}\)!
Una vez montado este sistema sólo debes seguir el paso a paso y listo!! \o/
Y eso es todo, vamos a hacer unos ejercicios para practicar (: