Péndulos Simples

Aquí aprenderemos que es un péndulo simple y como llegar a algunas de las ecuaciones que rigen este tipo de movimiento:

Un péndulo simple tiene el siguiente formato estándar:

Para llegar a la EDO de este movimiento, vamos a seguir los siguientes pasos:

Paso 1: diagrama de cuerpo libre y fuerzas que actúan en el movimiento

Aislando la masa, tenemos lo siguiente:

Paso 2: encontrar la fuerza resultante.

Como no hay movimiento en la dirección del cable, podemos descomponer el peso en esa dirección y en la dirección del movimiento, perpendicular.

Entonces la fuerza resultante viene dada por:

\(F_{R}=P \operatorname{sen} \theta\)

Paso 3: aplicar la Segunda Ley de Newton para rotaciones:

\(\tau=-L(\operatorname{Psen}(\theta))\)

\(L\) es la longitud del cable y también la distancia de la masa hasta el centro de rotación y \(\operatorname{Psen}(\theta)\) es el que hace que el péndulo gire! Note que \(\operatorname{Psen}(\theta)\) es perpendicular al cable!

Ese signo de menos proviene del hecho de que el toque siempre va a querer llevar la masa a la posición más baja (cuando el cable se pone en vertical).

Por otro lado, la segunda ley para rotaciones dice que:

\(\tau=I \alpha\)

Entonces:

\(I \alpha=-L P \operatorname{sen}(\theta)\)

Sólo que \(\alpha=\ddot{\theta}\)

\(I \ddot{\theta}=-L P \operatorname{sen}(\theta)\)

Y el momento de inercia de la masa en relación con el eje de rotación es \(I=m L^{2}\). 

\(m L^{2} \ddot{\theta}=-L P \operatorname{sen}(\theta)=-\operatorname{Lmgsen}(\theta)\)

\(\ddot{\theta}=-\frac{g}{L} \operatorname{sen}(\theta)\)

Ese seno está interfiriendo con nuestras vidas, ¿verdad?

Pero para valores pequeños de \(\theta\): \(\operatorname{sen} \theta \approx \theta\)

Nota: apareció un seno, sólo que el ángulo es pequeño, y se sustituye el seno por el propio ángulo.

Entonces:

\(\ddot{\theta}=-\frac{g}{L} \theta\)

Y ahí sí llegaremos a la ecuación del MAS:

\(\ddot{\theta}+\frac{g}{L} \theta=0\)

Comparando con la ecuación del MAS:

\(\ddot{\theta}+\omega^{2} \theta=0\)

Entonces:

\(\omega^{2}=\frac{g}{L}\)

\(\Rightarrow \omega=\sqrt{\frac{g}{L}}\)

Por lo tanto, el período se dará por:

\(\omega=\frac{2 \pi}{T}=\sqrt{\frac{g}{L}}\)

\(\therefore\)

\(T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}\)

Esta última ecuación es la más importante. El período variará solamente con la longitud y la gravedad del lugar.

La solución de esta EDO es la misma que la del MAS.

\(\theta(t)=\theta_{\max } \cos (\omega t+\phi)\)

Y a partir ahí es sólo jugar para sacar otros datos como velocidad y etc!

Vamos a los ejercicios? \o/