Oscilaciones Forzadas

¿Qué son las oscilaciones forzadas?

Ya hemos visto que puede haber una fuerza de amortiguación que “interfiere” con la oscilación. ¿Y si ahora surge una fuerza externa que también afecta a la oscilación, como la fuerza de peso?

¿Qué quieres decir? Fijate en la figura a continuación:

Lo llamamos oscilación forzada.

En este caso, una oscilación forzada con una fuerza que es constante en el tiempo

Matemáticamente hablando, antes estábamos tratando con EDO homogéneas.Pero, ya no más. Entonces, la solución general ahora será dada por la suma de una solución homogénea con una solución particular:

\(x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)\)

Aprendamos a resolver este problema.

Cuando la fuerza externa sea constante

Vamos a utilizar como ejemplo de fuerza constante la fuerza de peso, ya comentada. De hecho, las probabilidades de encontrar un problema que implique una oscilación influenciada por la fuerza de peso son grandes.

Usando la segunda Ley de Newton aplicada al ejemplo de arriba, vamos a obtener:

\(m a=F_{R}\)

\(m a=-k x+m g\)

\(m a+k x=m g\)

Ahhh, pero recuerda que podemos llamar a la aceleración \(a\) de \(\ddot{x}\). Y dividiendo todo por m, tenemos:

\(\ddot{x}+\frac{k}{m} x=g\)

Definimos \(\omega^{2}=k / m\):

\( \ddot{x}+\omega^{2} x=g \)

Observación: Note que el sentido del peso en este caso es positivo pues ha adoptado el sentido positivo de \(x\) para abajo.

Bien, llegamos a la ecuación diferencial. Ahora, como se ha dicho, la solución va a ser del tipo:

\(x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)\)

Para encontrar la solución homogénea, simplemente ignoramos todo lo que no es x(t) o sus derivados. Entonces, \(x_{h}(t)\) es la solución de la ecuación homogénea:

\(\ddot{x}+\omega^{2} x=0\)

Que es una simple ecuación de un MAS. Ya hemos visto que esta solución es del tipo:

\(x_{h}(t)=A \cos (\omega t)+B \operatorname{sen}(\omega t)\)

Y ahora, cómo encontrar la solución particular?

Bueno, debes recordar que la EDO que "adivinamos" es el valor para una solución particular es matemáticamente similar a la parte no homogénea de la ecuación y luego esta se reemplaza en la ecuación diferencial. 

En este caso, como la parte no homogénea es una constante \((g)\), entonces también demos un valor constante. De la siguiente manera:

\(x_{p}(t)=C\)

Sustituyendo en la EDO:

\(\ddot{x}_{p}+\omega^{2} x_{p}=g\)

\(0+\omega^{2} C=g\)

Te das cuenta de que hay un cero ahí porque la segunda derivada de una constante es cero, ¿no?

Recordando que: \(\omega^{2}=k / m\):

\(C\left(\frac{k}{m}\right)=g\)

\(C=\frac{m g}{k}=x_{p}(t)\)

Entonces, al final:

\(x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)\)

\(x(t)=A \cos (\omega t)+B \operatorname{sen}(\omega t)+\frac{m g}{k}\)

Genial, verdad? ¿Y si este ejemplo tuviera un amortiguador?

Sería muy parecido, y la solución particular sería la misma. Por qué? Bueno, porque las derivadas serían cero en la EDO por la misma razón que antes:

\(\ddot{x_{P}}+\gamma \dot{x_{P}}+\omega^{2} x_{P}=0\)

\(0+\gamma 0+\frac{k}{m} C=g \rightarrow C=\frac{m g}{k}\)

Lo que cambiaría sería la ecuación de la parte homogénea, que depende del tipo de amortiguación, como vimos en el capítulo de MAA.

Y si la fuerza es oscilatoria?

Mira la figura: Ahora tenemos una fuerza externa que no es constante y que varía en el tiempo como una fuerza oscilatoria:

\(F_{e x t}=F_{0} \cos (\Omega t)\)

Por ejemplo, cuando usted está empujando un columpio para un amigo que está sentado.

Cómo resolveremos esto? Simple, vamos a partir de la Segunda Ley de Newton nuevamente.

Igualando

Usamos la segunda ley de Newton para buscar una solución, recordando que en este caso, no tenemos amortiguación:

\(m a=-k x+F_{0} \cos (\Omega t)\)

Sustituyendo \(a=\ddot{x}\) y dividiendo todo por m:

\(\ddot{x}+\frac{k}{m} x=\frac{F_{0}}{m} \cos (\Omega t)\)

Preste atención, es un error muy común que llegue a una ecuación del tipo:

\(\ddot{x}+\omega^{2} x=F_{0} \cos (\Omega t)\)

En fin, como hemos visto, la solución va a ser del tipo:

\(\ddot{x}+\omega^{2} x=F_{0} \cos (\Omega t)\)

La solución homogénea es la solución de un MAS, pero la solución particular que necesitamos obtener se consigue usando los métodos de EDO’s.

Como la parte no homogénea es un coseno, es de esperar que la solución particular sea del tipo:

\(x_{p}(t)=C \cos (\Omega t)\)

Vamos a encontrar esa \(C\):

Así:

\(\dot{x}_{p}(t)=-\Omega C \operatorname{sen}(\Omega t)\)

\(\ddot{x}_{p}(t)=-\Omega^{2} C \cos (\Omega t)\)

Entonces, en la EDO:

\(-\Omega^{2} C \cos (\Omega \mathrm{t})+\omega^{2} C \cos (\Omega t)=\frac{F_{0}}{m} \cos (\Omega \mathrm{t})\)

Cortando los cosenos:

\(\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right) C=\frac{F_{0}}{m}\)

\(C=\frac{F_{0}}{m\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)}\)

Entonces, la solución particular será:

\(x_{p}(t)=\frac{F_{0}}{m\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)} \cos (\Omega t)\)

La masa oscila con la frecuencia de la fuerza externa, sin diferencia de fase. Si empujas el columpio, va hacia adelante, si tiras, va hacia atrás, como se esperaba.

Juntando todas las piezas:

\(x(t)=A \cos (\omega t)+B \operatorname{sen}(\omega t)+\frac{F_{0}}{m\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)} \cos (\Omega t)\)

Resonancia

Fíjese en la amplitud de la solución particular que acabamos de encontrar.

\(x_{p}(t)=A(\Omega) \cos (\Omega t)\)

\(A(\Omega)=\frac{F_{0}}{m\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)}\)

La amplitud del movimiento depende de la frecuencia de oscilación externa \((\Omega)\).

En el caso del columpio, si lo empujas muy rápido (alta frecuencia) o muy lento (baja frecuencia), la amplitud de oscilación será baja: su amigo no se divertirá

\(\lim _{\Omega \rightarrow \pm \infty} A(\Omega)=0\)

Cuando \(\Omega=\omega\), el denominador será cero!

\(\lim _{\Omega \rightarrow \omega} A(\Omega)=\lim _{\Omega \rightarrow \omega} \frac{F_{0}}{m\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)}=+\infty\)

La amplitud de oscilación se va haciendo cada vez más grande hasta el infinito, como en la figura de abajo. Llamamos a este fenómeno RESONANCIA! 

La amplitud máxima sólo ocurre cuando el sistema entra en resonancia, ¡eso es, cuando \(\Omega=\omega\)! En ausencia de amortiguación, la resonancia genera amplitudes infinitas

Es decir, si quieres que tu amigo se divierta en el columpio, tienes que empujar con una frecuencia cercana a la frecuencia natural de oscilación del sistema para que tenga una amplitud significativa. Pero ten cuidado, porque si no tienes fricción tu amigo volará al infinito y más allá!

Ahora es SUPER importante que refuerce todos los conceptos con los ejercicios. Tanto los teóricos como los matemáticos, son esenciales para que usted internalice los conocimientos. VAMOS ALLÁ!!