Régimen Transitorio, Permanente y Resonancia

Ahora, vamos a ver lo que sucede cuando además de la fuerza externa oscilatoria todavía tenemos fricción!

Observe el sistema de abajo: 

Hay una fuerza \(F\) externa que afecta al movimiento, y un sistema que provee fricción.

¿Cómo quedaría la ecuación del movimiento en este caso?

Vamos a utilizar de nuevo la Segunda Ley de Newton. Antes de eso, calculemos la fuerza resultante:

\(F_{R}=F-F_{e l}-F_{a t}\)

Donde

\(F_{e l}=k x\)

\(F_{a t}=c \dot{x}\)

\(F=F_{0} \cos (\Omega t)\)

Entonces:

\(F_{R}=-k x-c \dot{x}+F_{o} \cos (\Omega t)\)

Segunda Ley de Newton:

\(F_{R}=m a\)

\(\Rightarrow-k x-c \dot{x}+F_{0} \cos (\Omega t)=m \ddot{x}\)

Luego:

\(\ddot{x}+\frac{c}{m} \dot{x}+\frac{k}{m} x=\frac{F_{0}}{m} \cos (\Omega t)\)

Haciendo las sustituciones de siempre, \(\gamma=c / m\) y \(\omega^{2}=k / m\), tenemos que:

\(\ddot{x}+\gamma \dot{x}+\omega^{2} x=\frac{F_{0}}{m} \cos (\Omega t)\)

No confunda \(\omega\), la frecuencia natural del resorte (valor constante \(\sqrt{k / m}\)) con \(\Omega\), la frecuencia de la fuerza externa, que tiene valor variable!!

¿Genial? Hasta ahí todo bien. Sin embargo, solucionar esta EDO no es tan simple

Pero podemos sacar una conclusión rápida: La solución de la ecuación homogénea es la ecuación de un MAA (que puede ser crítico, sobreamortiguado o subamortiguado)

Para obtener la solución particular tenemos que usar unos métodos bizarros involucrando números complejos. Pero eso no importa mucho, es importante que usted sepa que será del tipo:

\(x_{p}(t)=\tilde{A}(\Omega) \cos [\Omega t+\phi(\Omega)]\)

Con:

\(\tilde{A}^{2}(\Omega)=\frac{F_{0}^{2}}{m^{2}\left[\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2} \Omega^{2}\right]}\)

\(\tilde{A}(\Omega)=\frac{F_{0}}{m \sqrt{\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2} \Omega^{2}}}\)

\(\phi(\Omega)=-\operatorname{arctg}\left(\frac{\gamma \Omega}{\omega^{2}-\Omega^{2}}\right)\)

Y como puede ver, la amplitud oscilación depende de la frecuencia externa.

¡Demonios! ¿Y eso qué nos dice? Nos dice que la solución particular es una función oscilatoria que oscila según la frecuencia de la fuerza externa, pero con una diferencia de fase,\(\phi(\Omega)\)!

Entonces,la solución será:

\(x(t)=x_{h}^{*}(t)+\tilde{A}(\Omega) \cos [\Omega t+\phi(\Omega)]\)

Dado que \(x_{h}^{*}\) es la solución de la ecuación homogénea, que es la solución de un MAA, es decir, puede ser del tipo crítico, subamortiguado o sobreamortiguado .

Régimen Transitorio y Régimen Permanente 

Pero ¿qué pasa con este sistema después de un largo período de oscilación?

¿Recuerda que las ecuaciones de los MAA siempre tendían a cero, después de un largo tiempo? Es decir, un sistema con amortiguación tiende a parar en algún momento. Y en nuestra solución general tenemos que el término \(x_{h}^{*}(t)\) es la solución de un MAA.

Podemos darnos cuenta de esto notando que las soluciones de los MAA siempre tenían un factor así:

\(" e^{-\frac{\gamma t}{2}}"\)

Y el límite de eso tendiendo al infinito ¿cuánto da? ¡Cero!. Así que si tendemos la solución general a un tiempo suficientemente largo, un tiempo \(\tau\) que no tiene que ser infinito, nos damos cuenta de que:

\(\lim _{t \rightarrow \tau} x(t)=\lim _{t \rightarrow \tau} x_{h}^{*}(t)+\lim _{t \rightarrow \tau} \tilde{A}(\Omega) \cos(\Omega t+\phi(\Omega))\)

\(\lim _{t \rightarrow \tau} x_{h}^{*}(t)=0\)

\(\lim _{t \rightarrow \tau} x(t)=\lim _{t \rightarrow \tau} \tilde{A}(\Omega) \cos (\Omega t+\phi(\Omega))\)

\(x(t)=\tilde{A}(\Omega) \cos (\Omega t+\phi(\Omega))\)

¡Listo! Es decir: Después de un largo tiempo, el sistema pasará a oscilar sólo en función de la fuerza externa, de acuerdo con la ecuación anterior.

Decimos que el sistema está en el régimen transitorio cuando el tiempo es menor que \(\tau\), y permanente cuando es mayor que \(\tau\). Pero generalmente se dice que el régimen permanente sucede después de un “largo tiempo” \((t \rightarrow \infty)\).

Mira el siguiente gráfico, para que te hagas una mejor idea:

Tenga en cuenta que antes de \(t=12 s\) que el movimiento era muy irregular. Esto ocurre debido a la suma de la ecuación homogénea con la particular. Sin embargo, después de ese tiempo, el sistema pasa a oscilar con una amplitud constante, como un MAS.

Es importante saber:

• En el régimen permanente, el sistema oscila con amplitud constante y dada por \(A(\Omega)\).

• El régimen permanente no depende de las condiciones iniciales \((x(0), \dot{x}(0))\) pues la parte que dependía de ello era la solución de la ecuación homogénea, que ya“murió” en ese régimen. Por lo tanto, todo lo que ocurra en el régimen permanente tampoco dependerá de las condiciones iniciales.

Resonancia

La resonancia es cuando un movimiento armónico forzado alcanza su amplitud máxima. En ausencia de amortiguación, pudimos observar que esto ocurre cuando la fuerza externa oscila con la frecuencia natural del sistema. 

\(\Omega=\omega\)

Como pudimos observar \(\tilde{A}(\Omega)\) viene dada por: 

\(\tilde{A}(\Omega)=\frac{F_{0}}{m \sqrt{\left(\omega^{2}-\Omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2} \Omega^{2}}}\)

Derivando y resolviendo eso ahí, tendremos que la amplitud máxima será:

\(\Omega_{\max }=\sqrt{\omega^{2}-\frac{\gamma^{2}}{2}}\)

CUIDADO!! Es muy común decir en los exámenes que la amplitud máxima siempre se expresa así \(\Omega=\omega\). Esto no ocurre cuando la oscilación tiene una amortiguación considerable.

Pero si el amortiguamiento es débil \((\gamma \ll \omega)\), entonces podemos aproximar la frecuencia de resonancia a \(\Omega_{\max } \approx \omega\)

¡Vaya! Mira que interesante: en este caso, el límite no da infinito. Esto significa que cuando hay amortiguación, la resonancia genera una amplitud máxima en la oscilación, pero finita.

Factor de Calidad o mérito

Algo que suele escucharse comunmente cuando hablamos de este tema es el tal factor de calidad o factor de mérito. Se puede definir como:

\(Q=2 \pi \frac{(\text {Energía almacenada en el oscilador})}{\text {energía disipada en el ciclo}}\)  

La relación anterior muestra la representación física de este factor. ¿Qué información podemos sacar de allí? Que cuanto mayor sea la disipación de energía en un ciclo, menor será el factor \(Q\).

Por lo tanto, es de esperar,que \(Q\) sea inversamente proporcional a \(\gamma\). Y es por eso que \(Q\) puede ser dado por:

\(Q=\frac{\Omega_{\max }}{\gamma}=\frac{\Omega_{\max }}{\Omega}\)

Y quién es \(\Omega\)?  Lleva por nombre ancho de banda.  ¿Cómo calculamos eso? Bueno, cuando tenemos un gráfico \(A^{2}\) vs \(\Omega\): 

Para calcular el ancho de banda vamos al eje \(y\) en \(\frac{A_{\mathrm{max}}^{2}}{2}\) y trazamos una recta horizontal. A partir de la intersección de esa recta con el gráfico, descubrimos, rebotando en el eje \(x\), dos valores de \(\Omega\). La diferencia entre estos dos valores nos da el ancho de banda.

¿Entendiste? En el caso de este ejemplo:

\(\Omega=5,5-4,5=1 \mathrm{rad} / \mathrm{s}\)

Las fórmulas anteriormente deducidas sólo valen para casos en que la amortiguación es débil \((\gamma \ll \omega)\).

Resumiendo

Juntando los conceptos importantes, tenemos que:

• Si el sistema es amortiguado, tendrá un régimen transitorio, que es el movimiento en los primeros instantes, y un régimen permanente, que será un MAS, teniendo una amplitud fija y frecuencia \(\Omega\) de la fuerza aplicada. El régimen permanente ocurre después de un largo tiempo;

• El régimen permanente no depende de las condiciones iniciales, es decir: \(x(0)\) e \(\dot{x}(0)\);

• La amplitud del movimiento en el régimen permanente dependerá de \(\Omega\) y \(\omega\); 

• Sólo si se le indica, resuelva la EDO no homogénea, del mismo modo que se hace en Cálculo.

Y sobre resonancia, tenemos que:

• No depende de las condiciones iniciales (ya que ocurre en régimen permanente);

• Cuanto mayor es la constante de amortiguación \(c\), menor es la amplitud de resonancia;

• Para pequeñas amortiguaciones o ninguna amortiguación, la resonancia ocurre para \(\Omega \approx \omega\);

• Para amortiguaciones considerables, la resonancia ocurre cuando \(\Omega_{R}=\sqrt{\left(\omega^{2}-\frac{\gamma^{2}}{2}\right)}\).

Presta atención entonces! Entiendo que estos conceptos no son simples, pero con un poco de práctica estoy seguro de que te irá genial! VAMOS QUE VAMOS!