Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell son aquellas que juntan la electricidad y el magnetismo en una sola teoría, el electromagnetismo.
Presentando: ¡Las ecuaciones!
Cada una de las ecuaciones tiene dos formas. Una la llamamos forma integral porque involucra integrales! La otra, la llamamos forma diferencial y esta involucra derivadas.
Las ecuaciones integrales de la tabla de arriba están en función de la carga y de la corriente. En el SI las ecuaciones en la forma integral son diferentes, dependiendo de cómo tu profesor te las presente, puedes sentirte familiarizado con una u otra. Las ecuaciones integrales en el SI son:
Ley de Gaus:
\(\oint \vec{E} \cdot \overrightarrow{d A}=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \int_{V} \rho d V\)
Ley de Gauss para el magnetismo sigue siendo la misma:
\(\oint \vec{B} \cdot \overrightarrow{d A}=0\)
Ley de Ampère-Maxwell:
\(\oint \vec{B} \cdot \overrightarrow{d l}=\mu_{0}\left(\int_{A} \vec{J} \cdot \overrightarrow{d A}+\varepsilon_{0} \frac{d}{d t} \int_{A} \vec{E} \cdot \overrightarrow{d A}\right)\)
Ley de Faraday-Lenz:
\(\oint \vec{E} \cdot \overrightarrow{d l}=-\frac{d}{d t} \int_{A} \vec{B} \cdot \overrightarrow{d A}\)
Antes de desesperarte, ven conmigo que yo te explico cada una con calma
Ley de Gauss para Electricidad y Magnetismo
Las dos primeras leyes de Maxwell son:
(Ley de Gauss)
\(\oint \vec{E} \bullet d \vec{A}=\frac{Q_{i n t}}{\epsilon_{0}}\)
(Ley de Gauss del Magnetismo)
\(\oint \vec{B} \bullet d \vec{A}=0\)
En la Ley de Gauss para el campo eléctrico \(\vec{E}\), estamos diciendo que el flujo eléctrico \(\left(\phi_{E}\right)\) en una región cualquiera depende de la cantidad de cargas en su interior.
Así, el primer término \(\oint \vec{E} \bullet d \vec{A}\) calcula el Flujo Eléctrico \(\left(\phi_{E}\right)\) de la región.
\(\phi_{E}=\oint \vec{E} \bullet \overrightarrow{d A}\)
\(Q_{i n t}\) es la cantidad de carga eléctrica total de la región escogida y \(\epsilon_{0}\) es la permitividad en el vacío.
\(\epsilon_{0} \cong 8,85 \times 10^{-12} F / m\)
Si nuestro región no es solo vacío, el valor de la permitividad cambia, y puede ser dado de dos maneras:
-Por \(\epsilon\), representando simplemente la permitividad del medio.
- Por \(\epsilon_{r}\) (que es mucho más raro), representando la permitividad relativa, donde:
\(\epsilon_{r}=\frac{\epsilon}{\epsilon_{0}}\)
Pero tranquilo, el problema te indicará cual usar!
Para el campo magnético, no existen “cargas magnéticas”. Todo imán posee un polo norte y un polo sur, que funciona como si fuesen cargas positivas y negativas. Cuando sumamos las dos, se cancelan.
Siguiendo el mismo razonamiento de antes, el término \(\oint \vec{B} \bullet d \vec{A}\) ahora calculará el Flujo Magnético \(\left(\phi_{B}\right)\) a través de la región cuya área es \(A\), que será siempre nulo!
Puedes ver el “flujo” del campo eléctrico y del campo magnético como las líneas que salen y entran de la región!
Si tomamos nuestra región y la disminuimos hasta obtener un volumen muuuuuuuuuuuuuuy pequeño, llegamos a las formas diferenciales de las ecuaciones!
(Ley de Gauss-Forma diferencial)
\(\vec{\nabla} \bullet \vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\)
El lado izquierdo \(\vec{\nabla} \cdot \vec{E}\) es divergente a \(\vec{E}\), dado por \(\frac{\partial E_{x}}{\partial x}+\frac{\partial {E}_{y}}{\partial y}+\frac{\partial E_{z}}{\partial z}\).
El término \(\rho\) que aparece corresponde a la densidad de carga volumétrica, definida como \(\rho=\frac{Q}{V_{o l}}\) (carga dentro de la región dividida por el volumen).
Para la Ley de Gauss del magnetismo:
(Ley de Gauss para magnetismo - Forma diferencial)
\(\vec{\nabla} \cdot \vec{B}=0\)
Básicamente estamos diciendo que lo divergente a \(\vec{B}\) es siempre igual a cero.
El significado físico de las ecuaciones continúa siendo el mismo! Solo que cambiamos la forma de escribirlas.
Leyes de Ampère-Maxwell y de Faraday-Lenz
Estas dos leyes relacionan el campo magnético de un medio con el campo eléctrico.
(Ley de Faraday-Lenz)
\(\oint \vec{E} \bullet d \vec{l}=-\frac{d \phi_{B}}{d t}\)
La integral de línea \(\oint \vec{E} \bullet d \vec{l}\) corresponde al flujo eléctrico a través de una curva \(l\) cualquiera.
(Ley de Ampère-Maxwell)
\(\oint \vec{B} \bullet d \vec{l}=\mu_{0}\left(i_{c}+\frac{\epsilon_{0} d \phi_{E}}{d t}\right)\)
La ley de Ampère nos dice que cuando el flujo eléctrico \(\phi_{E}\) varía con el tiempo \(\left(\frac{d \phi_{E}}{d t}\right)\) se genera un campo magnético. La parte correspondiente a dicha variación es llamada corriente de desplazamiento \(\mu_{0} \epsilon_{0} \frac{d \phi_{E}}{d t}\) en analogía con la corriente \(i_{C}\) que también genera campo magnéticos.
El término \(\mu_{0}\) es la permeabilidad magnética en el vacío que vale.
\(\mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} N / A^{2}\)
Pero así como \(\epsilon_{0}\), la permeabilidad magnética también varía en un medio que no sea el vacío.
-Puede ser dada por \(\mu\), representando simplemente la permeabilidad en el medio.
- También puede ser dada por \(\mu_{r}\) (que es más raro), representando la permeabilidad relativa.
\(\mu_{r}=\frac{\mu}{\mu_{0}}\)
La integral de línea \(\oint \vec{B} \bullet d \vec{l}\) nos da el flujo magnético a través de una curva \(l\).
La Ley de Faraday nos dice que cuando el flujo magnético \(\phi_{B}\) varía con respecto al tiempo \(\left(\frac{d \phi_{B}}{d t}\right)\) se genera un campo eléctrico.
Es decir, las dos leyes dicen que los campos eléctricos y magnéticos que cambian con el tiempo se crean un al otro! Así como las Leyes de Gauss, esas también tienen sus formas diferenciales.
(Ley de Ampère - Forma diferencial)
\(\vec{\nabla} \times \vec{B}=\mu_{0} \vec{J}+\mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)
\(\vec{\nabla} \times \vec{B}\) es el rotacional de \(\vec{B}\),que tiene una fórmula medio complicada:
\(\vec{\nabla} \times \vec{B}=\left(\frac{\partial B_{z}}{\partial y}-\frac{\partial B_{y}}{\partial z}\right) \hat{i}+\left(\frac{\partial B_{x}}{\partial z}-\frac{\partial B_{z}}{\partial x}\right) \hat{\jmath}+\left(\frac{\partial B_{y}}{\partial x}-\frac{\partial B_{x}}{\partial y}\right) \hat{k}\)
El término \(\vec{J}\) que aparece es la densidad de corriente.
(Ley de Faraday - Forma diferencial)
\(\vec{\nabla} \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
Este vez es el rotacional de
Entran en escena las Ondas Electromagnéticas
Un campo eléctrico que varíe con el tiempo induce un campo magnético y a su vez, un campo magnético que varía en el tiempo induce un campo eléctrico.
Con eso, yo paso a tener un campo eléctrico y un campo magnético variando juntos que en un cadual que sustenta el uno con el otro. Estos se pueden propagar hasta en el vacío (poder del amor)
Acabamos de describir a las Ondas Electromagnéticas.
Las ondas electromagnéticas son descritas por las llamadas ecuaciones de onda, obtenidas por las ecuaciones de Maxwell.
Cuando la onda se propaga paralelamente a un eje cartesiano cualquiera (como en la figura de arriba, que está paralelo al eje \(x\)) esta es descrita por la ecuación de onda unidimensional a lo largo de dicho eje:
\(\frac{\partial^{2} E}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}}\)
\(\frac{\partial^{2} B}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} B}{\partial t^{2}}\)
La velocidad de dichas ondas en un medio cualquiera es dada por:
\(\frac{1}{v^{2}}=\mu \epsilon\)
Usamos \(c\) para representar la velocidad de una onda electromagnético en el vacío. Utilizando la fórmula anterior, nos da un resultado igual a:
\(c \cong 3 \bullet 10^{8} m / s\)
¿Pero porqué eso es importante?
Sucede que existe otra cosa que se propaga con la misma velocidad, la luz, por la siguiente razón:
La luz es una onda electromagnética!
“¿Eso era todo?”, calma,
La onda electromagnética se puede propagar en cualquier dirección. Esa dirección tendrá componentes es todos sus ejes, no siendo paralela a ninguno.
En estos casos, el campo eléctrico y magnético necesitan ser derivados en relación a todos los ejes. Es decir, tendrás que obedecer a la ecuación de ondas tridimensinales, que es:
El lado izquierdo es lo que llamada Laplaciano, y podemos simplificar la notación usando el simbolo :
En estas ecuaciones colocamos (vectores) no escalares.
La derivada de un vector es lo mismo que direvar cada componente de dicho vector:
e\(\frac{\partial^{2} \vec{u}}{\partial x^{2}}=\left(\frac{\partial^{2} u_{x}}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} u_{y}}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} u_{z}}{\partial x^{2}}\right)\)
Lo que significa que cada componente del campo eléctrico y magnético van a seguir una ecuación de ondas tridimensionales! Por ejemplo, para el campo eléctrico tendremos:
\(\nabla^{2} E_{x}=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial t^{2}} ; \nabla^{2} E_{y}=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}} ; \nabla^{2} E_{z}=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial t^{2}}\)
Okay! ¿Que tal si hacemos algunos ejercicios para reforzar el contenido?
Hay un error?
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