Vector de Poynting e Intensidad

La onda electromagnética es una onda progresiva, donde \(\vec{E}\) y \(\vec{B}\) se desplazan a las posiciones donde no había campo eléctrico y magnético anteriormente. 

Sabemos, que en ese desplazamiento, la onda carga consigo una densidad de energía \(u\).

La tasa con la cual esa energía transportada por la onda electromagnética atraviesa una superficie es llamada flujo de energía.

La forma de representar ese flujo es a través de un vector llamado vector de Poynting \(\vec{S}\).Ven aquí, y hablemos un poco sobre él. 

Usando la densidad \(u\) de energía transportada por una onda electromagnética, podemos decir que la energía en una región con volumen \(V\) es:

\(U=u \bullet V\)

Cuando la onda electromagnética atraviesa un área \(A\), esta transfiere una energía \(\Delta U\) (variación de energía en aquel lugar). Podemos escribir esa variación usando la variación de volumen que atraviesa la luz (usando la velocidad \(c\) de la luz).

\(\Delta U=u \bullet \Delta V=\left(\epsilon_{0} E^{2}\right) \bullet(A c \Delta t)\)

\(\frac{1}{A} \frac{\Delta U}{\Delta t}=\epsilon_{0} c E^{2}\)

Ese es el flujo de energía media. Haciendo al tiempo tender a cero, el flujo de energía es:

\(S=\frac{1}{A} \frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} t}=\epsilon_{0} c E^{2}\)

Que es la energía por unidad de tiempo (potencia) por unidad de área. Por tanto, \(S\) es la magnitud del vector de Poynting. 

Podemos utilizar las relaciones que dijimos anteriormente para hallar otras formas de escribir Poynting como:

\(S=\sqrt{\frac{\epsilon_{0}}{\mu_{0}}} E^{2}=\frac{E B}{\mu_{0}}\)

Tranquilo! No necesitas memorizar todas las formas de escribir la fórmula! Basta con saber solo una de esas formas, y recordar la relación \(E=c B\). 

¡Pero al final, todavía no tenemos un vector! Como la onda se propaga en el sentido de \(\vec{E} \times \vec{B}\), el vector de Poynting tendrá ese sentido. Pero ese producto vectorial tiene exactamente el módulo que queremos (Como \(\vec{E}\) y \(\vec{B}\) son perpendiculares, \(\|\vec{E} \times \vec{B}\|=E B\)). 

Entonces podemos escribir el vector de Poynting \(\vec{S}\) como: 

\(\vec{S}=\frac{\vec{E} \times \vec{B}}{\mu_{0}}\)

Ese vector es muy importante ya que posee la dirección, el sentido y la magnitud del flujo de energía transportada.

Intensidad de radiación

Como los campos eléctrico \(\vec{E}\) y magnético \(\vec{B}\) varían con el tiempo en cualquier posición, el vector de Poynting \(\vec{S}\) también varía de la misma forma. Y como esas frecuencia generalmente son muy altas, es mas fácil trabajar con el valor medio del vector de Poynting en el tiempo.

Es justamente ese valor medio del vector de Poynting al que llamamos intensidad de radiación, o intensidad de onda, dado por

\(I=S_{\mathrm{medio}}=\frac{1}{2} \frac{E_{\mathrm{mix}} B_{\mathrm{mix}}}{\mu_{0}}\)

El factor \(1 / 2\) viene del hecho de que \(S_{m e d i o}\) es la media temporal del vector de Poynting y en la operación aparece una media temporal de \(\cos ^{2}(\omega t)\) que da \(1 / 2\).

Podemos utilizar el hecho de que \(E=c B\) para encontrar otra formas de escribir la ecuación. 

\(I=\frac{c B_{\operatorname{mix}}^{2}}{2 \mu_{0}}=\frac{E_{\operatorname{mix}}^{2}}{2 \mu_{0} c}\)

Si escribes en función de \(\epsilon_{0}\), solo recuerda que 

\(c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}} \rightarrow \mu_{0}=\frac{1}{c^{2} \epsilon_{0}}\)

En ese caso, las expresiones quedan 

\(I=\frac{c^{3} B_{\operatorname{max}}^{2} \epsilon_{0}}{2}=\frac{E_{\operatorname{max}}^{2} \epsilon_{0} c}{2}\)

Relajate! Tampoco es necesario que memorices todas las formas de escribir la fórmula! Lo ideal es intentar recordar solo la primera \(I=\frac{1}{2} \frac{E_{\operatorname{max}} B_{\max }}{\mu_{0}}\) y la relación \(E=c B\), que es más importante. 

Ya lo dijimos anteriormente, pero vale la pena recordarte de nuevo. Si quieres memorizar las fórmulas que vimos, lo mejor es grabarse estas 3:

\(S=\frac{E B}{\mu_{0}}\);\(I=\frac{1}{2} \frac{E_{\max } B_{\max }}{\mu_{0}}\) y \(E=c B\)

En vez de intentar grabarte todas las variaciones que ya vimos, que son unas 7 u 8 fórmulas. 

Potencia de la Luz

El flujo de energía transportado por la luz es dado por el vector de Poynting \(\vec{S}\).

\(\vec{S}=\frac{\vec{E} \times \vec{B}}{\mu_{0}}\)

Pero el flujo es la potencia (energía por tiempo) de la luz por unidad de área. Para saber la potencia de la luz en un área dada, tenemos que ver cuánta energía atraviesa perpendicularmente la superficie. 

La potencia \(P\) que atraviesa la superficie es el flujo perpendicular \(\left(S_{x}=S \cos \theta\right)\) multiplicado por el área. 

\(P=S A \cos \theta=\vec{S} \bullet \vec{A}\)

Eso es el producto escalar entre el flujo y el “vector Área” (vector normal a la superficie cuyo módulo es el área). ¿Pero en el caso de una esfera?

La dividimos en pequeñas áreas.

\(d P=\vec{S} \bullet d \vec{A}\)

E integramos todas.

\(P=\oint \vec{S} \bullet d \vec{A}\)

¡Solo por curiosidad! Los paneles solares son inclinados de forma que queden perpendiculares al vector de Poynting justamente para maximizar la potencia de la energía solar. \(\cos \theta\) hace que en otros ángulos la potencia siempre sea menor. 

Intensidad de la radiación varía con el área

En ejercicios y pruebas, en general el vector de Poynting siempre será paralelo al “vector área”. Por lo que no debemos preocuparnos por el ángulo \(\theta\) entre ellos.

Si además consideramos el flujo medio en nuestra integral, tenemos:

\(P=S_{m e d} \oint d A=S_{m e d} \bullet A\)

La onda \(A\) es el área total de la superficie y \(P\) es la potencia de la luz. Por la definición, \(S_{m e d}=I\)  es la intensidad! La intensidad a lo largo de nuestra área es:

\(I=\frac{P}{A}\)

En el caso de una superficie esférica, recaemos en nuestra lámpara LED!

\(I=\frac{P}{4 \pi r^{2}}\)

Con \(r\) siendo la distancia que la luz recorre. 

En ejercicios y pruebas, es fórmula del final es la más importante. 

Para la parte anterior, es importante entender el concepto de que el ángulo de la luz afecta cuanta potencia recibimos, pero no te preocupes tanto con cada fórmula. 

¡Ahora, vamos a los ejercicios para reforzar el contenido!