Espejos Planos
Un espejo es una superficie que refleja el rayo luminoso en una dirección definida, en lugar de absorberlo o dispersarlo en todas las direcciones.
En este capítulo veremos las imágenes formadas por espejos planos.
Vamos a imaginar una fuente de luz puntual \(O\) a una distancia \(p\) de un espejo plano. Un rayo luminoso que sale del punto \(O\) e incide con un ángulo \(\theta\) con la normal al espejo, se reflejará con el mismo ángulo \(\theta\) con la normal.
Cuando hacemos la prolongación en el sentido inverso de los rayos reflejados, podemos ver que se interceptan en un mismo punto que está a una distancia \(i\) del espejo. Este punto es la imagen \(I\) del objeto \(O\), presta atención:
En el caso del espejo plano, las imágenes formadas son llamadas imágenes virtuales, ya que ningún rayo pasa realmente por el lugar donde se encuentra la imagen, es decir, la imagen se forma detrás del espejo.
Por convención, la distancia de los objetos \((p)\) siempre será positiva y la distancia de las imágenes \((i)\) siempre serán negativas. Por lo tanto, para un espejo plano, la distancia del objeto al espejo \((p)\) siempre será igual al módulo de la distancia de la imágen al espejo \((|i|)\). Entonces, podemos decir que:
\(i=-p\)
Espejo Plano \(+\) Cambio de Medio
Imagina el problema descrito por la siguiente imágen. ¿A qué distancia del espejo se formará la imagen?
Debemos tener en consideración tanto los efectos de un espejo plano con los de la refracción.
El primer paso es saber elegir dos rayos luminosos para hallar la intersección de sus prolongaciones.
Cuando el haz de luz pasa del aire al agua perpendicularmente, la luz no se desviará. Así que vamos a elegir ese rayo.
También podemos trabajar con un haz cuando los ángulos del mismo son muy pequeños. De esa manera:
\(\tan \theta \approx \operatorname{sen} \theta \approx \theta\)
Dibujando el punto \(I\) de encuentro de los haces luminosos (que es donde se forma la imagen), tendremos la siguiente gráfica, que nos permitirá ver la geometría del problema.
Para ayudarnos en el análisis, definimos los puntos \(A\), \(B\) y \(C\) donde el haz de luz pasa por la interfaz aire/agua y el punto \(D\) en que el haz se refleja en el espejo.
Sabiendo que los ángulos \((\theta\) y \(\theta^{\prime})\) son suficientemente pequeños y que el índice de refracción del airea es igual a 1, de acuerdo con la Ley de Snell, tendremos:
\(n_{a ire} \cdot \operatorname{sen} \theta=n_{a g u a} \cdot \operatorname{sen} \theta^{\prime}\)
\(\theta=n_{\text {agua}} \theta^{\prime} \rightarrow \theta^{\prime}=\frac{\theta}{n_{\text {agua}}}\)
Ahora hagamos el análisis de triángulos para calcular la distancia \(d\).
-
Triángulo \(C A I\)
Vemos que:
\(\theta \approx \tan \theta=\frac{|A C|}{d+d_{2}}\)
Lo que nos da:
\(d=\frac{|A C|}{\theta}-d_{2}\)
Sustituyendo \(|A C|=|A B|+|B C|\).
\(d=\frac{|A B|+|B C|}{\theta}-d_{2}\)
-
Triángulo \(O A B\):
De aquí podemos concluir que
\(|A B|=d_{1} \cdot \tan \theta \approx d_{1} \theta\)
-
Triángulo \(C B D\)
\(|B C|=2 d_{2} \cdot \tan \theta^{\prime} \approx 2 d_{2} \theta^{\prime}\)
\(|B C| \approx \frac{2 d_{2} \theta}{n_{\text {agua }}}\)
¡Uy! Podemos sustituir las relaciones para los lados \(|A B|\) y \(|B C|\) en la primera ecuación.
\(d=\left(d_{1} \theta+\frac{2 d_{2} \theta}{n_{a g u a}}\right) \frac{1}{\theta}-d_{2}\)
Finalmente:
\(d=d_{1}+\frac{2 d_{2}}{n_{a g u a}}-d_{2}\)
De esta relación, podemos decir que la distancia \(d\) entre la imágen y el espejo es independiente del ángulo que elijamos para dibujar nuestros haces de luz.
Rotación de Espejo Plano
Comencemos estudiando el caso de una reflexión de un rayo luminoso, que sale de una fuente puntual \(O\), en un espejo plano:
Donde \(R i\) es el rayo incidente, \(R r_{i}\) es el rayo reflejado en la posición inicial y \(N_{i}\) es la línea normal al espejo en la posición inicial.
¿Hasta aquí nada nuevo, verdad?
En este caso, lo que nos interesa saber es,cuando ocurre una rotación del espejo de un ángulo \(\theta\), como en la figura de abajo:
En este caso, ¿cual es el ángulo \(\Delta\) formado por los prolongamientos de los rayos reflejados?
Un aspecto importante que quizá no esté claro es la relación entre los ángulos \(\theta\), \(a\) y \(b\), que viene dada por:
\(\theta=b-a\)
En base a lo anterior, vamos a analizar el triángulo formado por los prolongamientos de los rayos reflejados:
La suma de los ángulos internos de un triángulo siempre debe ser igual \(180^{\circ}\), por lo tanto:
\(\Delta+2 a+\left(180^{\circ}-2 b\right)=180^{\circ}\)
Ahora sólo tenemos que ordenarlo:
\(\Delta+2 a-2 b=0\)
\(\Delta=2 b-2 a\)
\(\Delta=2(b-a)\)
Finalmente:
\(\Delta=2 \theta\)
De forma que los rayos reflejados siempre girarán el doble del ángulo de rotación del espejo
Combinación de Espejos Planos
Imaginemos dos espejos planos que forman entre sí un ángulo \(\alpha\), entre los espejos colocamos un objeto \(P\).
Los haces de luz que vienen de ese punto sufren reflexión regular en los dos espejos, formando dos imágenes virtuales. Sin embargo, los rayos que se reflejan en un espejo inciden sobre el otro, y cada punto de imagen acaba funcionando como un nuevo punto de objeto, formando nuevas imágenes virtuales.
Para cada ángulo \(\alpha\) existe un determinado número de imágenes \(N\), dado por:
\(N=\frac{360^{\circ}}{\alpha}-1\)
Físicamente, ocurre lo siguiente:
Visualmente, el resultado es este:
Este es el caso simple, en el que sólo tenemos dos espejos planos combinados. Podríamos tener un caso más complejo, como en el caso de un laberinto de espejos. ¡Echémosle un vistazo a los ejercicios! =)
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