Espejos Esféricos
Como su nombre indica, los espejos esféricos tienen la forma de una pequeña sección de la superficie de una esfera.
Tipos de espejos esféricos
Existen dos tipos de espejos esféricos: los cóncavos y los convexos. Para entender mejor cómo funciona cada tipo de espejo, hagamos una comparación con el espejo plano.
Consideremos que todo lo que está frente al espejo se encuentra a la izquierda, del mismo lado que está el objeto. Y todo lo que está atrás del espejo se encuentra a la derecha, lado opuesto del objeto.
En las siguientes imágenes \((C)\) es el centro de curvatura, \((c)\) es el centro del espejo, \((O)\) es el objeto, \((p)\) es la distancia del objeto al centro \(c\) del espejo, \((I)\) es la imagen e \((i)\) es la distancia de la imagen al centro \(c\) del espejo.
Cóncavo: el centro de curvatura \((C)\) se haya delante del espejo, el campo de visión disminuye.
En un espejo cóncavo, los rayos que inciden paralelamente al eje central convergen en un mismo punto, llamado punto focal \((F)\), el foco. De la misma forma, los rayos que inciden sobre el foco, reflejan paralelamente al eje central.
Como el foco se encuentra del mismo lado que el objeto, lo llamamos foco real.
Convexo: el centro de curvatura \((C)\) se haya detrás del espejo, el campo de visión aumenta.
En un espejo convexo, los rayos paralelos se divergen a partir del foco virtual (que se encuentra del lado opuesto al objeto). Presta atención:
Imágenes formadas por espejos esféricos
Existen ciertas relaciones muy importantes que necesitamos conocer y que serán necesarias para resolver buena parte de los problemas.
La distancia entre el foco \((F)\) y el centro del espejo \((c)\) es llamada distancia focal \((f)\). Y la distancia entre el centro de curvatura \((C)\) y el centro del espejo \((c)\) es llamada radio de curvatura \((r)\).
La distancia focal y el radio de curvatura están directamente relacionados por:
\[f=\frac{1}{2} r\]
Además, existe una importante relación directa entre la distancia focal \((f)\), la distancia \((p)\) entre el objeto y el centro del espejo y la distancia \((i)\) entre la imagen y el centro del espejo:
\[\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{i}\]
\[\text { (espejo esferico) }\]
Sea \(h\) la altura de un objeto y sea \(h^{\prime}\) la altura de la imagen correspondiente, la ampliación lateral \((m)\) es definida por:
\[|m|=\frac{h^{\prime}}{h}\]
El valor de \(m\) es positivo cuando la imagen posee la misma orientación del objeto, y es negativo cuando la imagen posee una orientación opuesta a la del objeto.
La ampliación lateral también puede ser calculada a partir de la ecuación:
\[m=-\frac{i}{p}\]
Un último detalle importante sobre las imágenes formadas por espejos esféricos: las imágenes reales se forman del mismo lado del espejo en el que se encuentra el objeto y las imágenes virtuales del lado opuesto.
Gráfico \(\boldsymbol{p} \times \boldsymbol{i}\)
La situación es la siguiente: comenzamos a desplazar el objeto a partir del centro de un espejo esférico hasta una distancia \(p^{\prime}\) del espejo. Durante el movimiento, la distancia \(i\) entre la imagen y el centro del espejo es medida.
La gráfica muestra el valor de \(i\) en función de la distancia \(p\) del objeto hasta una distancia \(p_{s}\), donde \(p_{s}<p^{\prime}\).
La pregunta es: ¿cual es la distancia de la imagen cuando el objeto está a una distancia \(p^{\prime}\) del espejo?
Como \(p_{s}<p^{\prime}\), no podemos simplemente sacar el valor de \(i^{\prime}\) de la gráfica ya que no estará allí (parece un buen motivo,¿no?)
Como muestra la gráfica, si cambiamos la distancia \(p\), cambiaremos la distancia \(i\). Así que necesitaremos de un parámetro que sea constante.
Este parámetro es la distancia focal \((f)\). Por lo tanto, en este tipo de problema, un buen primer paso sería acostumbrarnos a calcular el valor de \(f\).
Pero ello, necesitamos buscar en la gráfica un punto de la curva y usar los respectivos valores de \(p\) e \(i\) para calcular \(f\).
A la hora de escoger ese punto, intente prestar atención para elegir un punto en donde los valores sean fáciles de captar, como el ejemplo de abajo:
Escogidos los valores de \(p\) e \(i\), basta con calcular la distancia focal \(f\) a través de la expresión:
\[\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{i}\]
Ahora que finalmente calculamos \(f\), solo tenemos que utilizar el valor de \(p^{\prime}\) dado por el problema y calcular el valor de \(i^{\prime}\) a través de la expresión:
\[\frac{1}{f}=\frac{1}{p^{\prime}}+\frac{1}{i^{\prime}}\]
\[\frac{1}{i^{\prime}}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p^{\prime}}\]
Gráfica \(\boldsymbol{p} \times \boldsymbol{m}\)
En este caso la situación es muy parecida. Al igual que la anterior, comenzamos a mover el objeto desde el centro de un espejo esférico hasta una distancia \(p^{\prime}\) del espejo.
Durante el movimiento, la ampliación lateral \((m)\) es medida. La siguiente gráfica muestra el valor \((m)\) en función de la distancia \(p\) del objeto hasta una distancia \(p_{s}\), donde \(p_{s}<p^{\prime}\).
La pregunta es: ¿cual es la ampliación lateral \(m^{\prime}\) del objeto cuando este se encuentra a una distancia \(p^{\prime}\) del espejo?
Para ello, necesitamos encontrar el valor de \(i^{\prime}\) para calcular el valor de \(m^{\prime}\). Por tanto, un buen comienzo sería calcular la distancia focal \(f\) del espejo, dada por:
\[\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{i}\]
Debemos escoger un punto en la gráfica, y la distancia \(i\) será dada por:
\[i=-m \cdot p\]
Ahora que tenemos los valores de \(p\) e \(i\) correspondientes, podemos calcular la distancia focal \(f\).
Luego, a través del valor de \(p^{\prime}\) y \(f\), calcular el valor de \(i^{\prime}\) correspondiente:
\[\frac{1}{i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p^{\prime}}\]
Finalmente, ahora con todos los datos necesarios, el valor de la ampliación lateral \(m^{\prime}\) correspondiente a la distancia \(p^{\prime}\) será dada por:
\[m^{\prime}=-\frac{i^{\prime}}{p^{\prime}}\]
Obs.: Lo importante en este caso es no memorizar el paso a paso, sino entender la lógica para resolver este tipo de problemas.
Identificando un Espejo Esférico
¿Qué pasaría si te encontraras con un pregunta que te pidiera identificar si el espejo es cóncavo o convexo a través de las gráficas y datos? Tranquilo, a continuación veremos cómo podemos diferenciarlos.
Espejo Cóncavo
Como vimos anteriormente, el espejo cóncavo posee las siguientes características:
- El centro de curvatura \((C)\) está delante del espejo;
- El campo de visión disminuye;
- La distancia \((i)\) y el tamaño de la imágen aumentan en relación al espejo plano.
La gráfica de \(|i|\) en función de \(p\) luce más o menos así:
Podemos observar que la gráfica posee una discontinuidad, para poder entender bien lo que ocurre, vamos a explicar cada parte separadamente:
- \((0<p<f)\): Cuando el objeto está entre el centro del espejo y el foco, la imagen formada es virtual (es decir, se forma del lado del espejo opuesto al objeto);
- \((p=f)\): Cuando el objeto está sobre el foco, no se forma ninguna imagen. Esto explica la discontinuidad;
- \((p>f)\): A partir de esa distancia, la imagen formada por el espejo es real, y el valor de \(|i|\) disminuye gradualmente, como muestra la gráfica.
Por la tanto, la discontinuidad aparece en el momento en que la imagen cambia de plano, pasando de formarse en el plano virtual al plano real.
Espejo Convexo
El espejo convexo posee las siguientes características:
- El centro de curvatura \((C)\) se ubica detrás del espejo;
- El campo de visión aumenta;
- La distancia \((i)\) y el tamaño de la imagen disminuyen en relación al espejo plano.
La siguiente gráfica relaciona \(|i|\) en función de \(p\):
En este gráfico no se aprecia ninguna discontinuidad, como en el caso del espejo cóncavo. Esto sucede porque todas las imágenes formadas por el espejo convexo son virtuales.
Y así es como conseguimos diferenciar los espejos. =)
¿Vamos a practicar?
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