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Lentes

Una lente es un cuerpo transparente limitado por dos superficies refractoras con un eje central en común.

 

Cuando la lente está inmersa en el aire, la luz es refractada al penetrar en la lente, atraviesa la misma, es refractada una segunda vez y vuelve a propagarse en el aire.

 

Las dos refracciones pueden cambiar la dirección de los rayos.

 

Trabajaremos con dos tipos de lente:

 

  • Lente Convergente: los rayos inciden paralelos al eje central. Se acercan al eje.

  • Lente Divergente: los rayos se alejan del eje central.

 

La siguiente imagen ejemplifica cómo los rayos se comportan para cada tipo de lente:

 

 

 

Un detalle importante relacionado a la distancia focal \(f\) es:

 

  • Si la lente es convergente, el valor de \(f\) será positivo;

  • Si la lente es divergente, el valor de \(f\) será positivo

 

Para nuestros problemas, vamos a considerar solo lentes delgadas: lentes en las cuales la distancia del objeto \((p)\), la distancia de la imagen \((i)\) y los rayos de curvatura \(\left(r_{1}\right)\) y \(\left(r_{2}\right)\) de las superficies de la lente son mayores que su espesura. 

 

Para una lente delgada con índice de refracción \(n\) inmersa en el aire, la distancia focal \(f\) es dada por:

 

\(\frac{1}{f}=(n-1)\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right)\)

 

Además, una relación que usamos a menudo en espejos esféricos y que sigue siendo válida para lentes es dada por:

 

\(\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{i}\)

 

Imágenes formadas por lentes delgadas

Ahora que ya sabemos cómo se comporta cada lente, necesitamos entender las imagénes que producen.

Para ello, solo debemos tomar en cuenta estas tres reglas:

 

  • Un rayo, que incide paralelo al eje central, luego de ser refractado, pasa por el punto focal \(F_{2}\);

  • Un rayo que incide sobre el punto focal \(F_{1}\), luego de ser refractado, se vuelve paralelo al eje central;

  • Un rayo que pasa por el centro de la lente emerge de la misma sin sufrir cambios en su dirección;

 

El punto de encuentro de dos o más rayos es el punto donde se forma la imagen, apliquemos las reglas a los dos tipos de lente:

 

 

 

Las lentes convergentes forman imágenes de la siguiente manera:

 

  • \((p>f)\): Imagen real con orientación invertida en relación al objeto;

  • \((p=f)\): La lente no forma imágenes;

  • \((p<f)\): Imagen virtual con la misma orientación del objeto;

Las lentes divergentes forman imágenes virtuales con la misma orientación que el objeto.

 

Análisis Gráfico de Lentes Delgadas

A continuación veremos dos de los casos más comunes de análisis de gráficos de lentes delgadas y cómo resolverlos.

La primera situación es la siguiente. Imagina que mueves un objeto hasta una distancia \(p^{\prime}\) de la lente. Tendrás el siguiente gráfico: 

¿Cuál es la distancia de la imagen cuando el objeto está a una distancia \(p^{\prime}>p_{s}\) de la lente?

 

Como \(p_{s}>p^{\prime}\), no podemos simplemente quitar el valor de \(i^{\prime}\) del gráfico porque no estaría allí. Vamos a necesitar de un parámetro que sea constante: la distancia focal \((f)\).

 

Por lo tanto, en este tipo de problema, un buen primer paso sería calcular el valor de \(f\). Necesitamos buscar en el gráfico un punto de la curva y usar los valores de \(p\) e \(i\) para calcularla.

 

Después de calcular el valor de \(f\), basta con usar el valor de \(p^{\prime}\) dado por el problema y calcular el valor de \(i^{\prime}\) a través de la expresión:

 

\(\frac{1}{f}=\frac{1}{p^{\prime}}+\frac{1}{i^{\prime}}\)

 

ATENCIÓN! Así como en un espejo cóncavo, la lente convergente no forma imagen cuando el objeto se encuentra sobre el foco \(F_{1}\). Por lo que el gráfico \(p \times i\) de este tipo de lente luce así:

 

El gráfico puede parecer un poco extraño, sin embargo nos es de mucha ayuda. Este presenta una discontinuidad, y el punto en el que ocurre esa discontinuidad es justamente la distancia focal \(f\), ya que cuando el objeto está sobre él no se forma ninguna imagen. En ese caso, podemos tomar la distancia focal del gráfico y ahorramos cálculos. 

 

¿Cúal es la ampliación lateral \(m^{\prime}>m_{s}\) del objeto cuando éste se encuentra a una distancia \(p^{\prime}\) de la lente?

 

La idea es bastante parecida: necesitamos encontrar el valor de \({i}^{\prime}\) para calcular el valor de \({m}^{\prime}\). Un buen comienzo es calcular la distancia focal \(f\) de la lente. Se escogen dos puntos del gráfico, \(m\) y \(p\) y la distancia \(i\) será  dada por:

 

\(i=-m \cdot p\)

 

Ahora que tenemos los valores de \(p\) e \(i\) correspondientes, podemos calcular la distancia focal \(f\). El próximo paso es utilizar la misma expresión y, a través del valor de \(p^{\prime}\), calcular el valor de \(i^{\prime}\) correspondiente:

 

\(\frac{1}{i^{\prime}}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p^{\prime}}\)

 

Finalmente, como tenemos todos los datos necesarios, podemos calcular el valor de la ampliación lateral \(m\).  

 

Identificando la Lente

Ya sabemos las principales características de cada lente…, ¿pero y si te dan el gráfico de \(|i|\) en función de \(p\) y te piden que identifiques que tipo de lente es? Tranquilo, te ayudaré.

 Para la lente convergente, el gráfico luce así:

Podemos observar que el gráfico posee una discontinuidad, para entender mejor qué ocurre, vamos a explicar cada tramo por separado:

 

  • \((0<p<f)\): Cuando el objeto está entre el centro de la lente y el foco, la imagen formada es virtual (es decir, se forma en el mismo lado de la lente que el objeto).

  • \((p=f)\): Cuando el objeto está sobre el foco, no se forma ninguna imagen en la lente. Esto explica el porqué de la discontinuidad;

  • \((p>f)\): A partir de esta distancia, la imagen formada por la lente es real, y el valor de \(|i|\) disminuye gradualmente, como se muestra en el gráfico.

 

Por lo tanto, la discontinuidad aparece en el momento en que la imagen cambia de plano, dejando de formarse en el plano virtual para formarse en el plano real. 

 

Para la lente divergente, luce así.

 

En este gráfico no tenemos ninguna discontinuidad, como en el caso de la lente convergente, esto ocurre porque todas las imágenes formadas por la lente divergente son virtuales

 

¿Genial, verdad? Ahora ya sabemos cómo diferenciar las lentes a través del gráfico de \(|i|\) en función de \(p\)

 

Combinación de Lentes

Vamos a complicar un poco más las cosas… ¿y si tuviéramos un objeto \(O\) delante de un conjunto de dos o más lentes cuyos ejes centrales coinciden y queremos localizar la imagen final del sistema?

 

 

Obs.: Las posiciones, tamaño y orientaciones del objeto \(O\) y de las imágenes \(I_{1}\) e \(I_{2}\) son completamente arbitrarias. Además, las lentes son representadas por rectángulos debido a las diversas combinaciones posibles. 

 

La estrategia que tenemos que utilizar para resolver este problema es la siguiente:

 

Llamaremos \(p_{1}\) a la distancia entre el objeto \(O\) y la lente 1. A partir de ahí, calculamos la distancia \(i_{1}\) entre la imagen \(I_{1}\) y la lente que traza los rayos, o usando la siguiente relación:

 

\(\frac{1}{f_{1}}=\frac{1}{p_{1}}+\frac{1}{i_{1}}\)

 

Después, ignoraremos la presencia de la lente 1 y empezaremos a considerar la imagen \(I_{1}\) como el objeto de la lente 2.

 

¡Importante! Si el nuevo objeto (imagen \(I_{1}\)) está a la derecha de la lente 2, la distancia \(p_{2}\) será considerada negativa. Si el nuevo objeto (imagen \(I_{1}\)) está a la izquierda de la lente 2, la distancia \(p_{2}\) será considerada positiva.

 

Finalmente, solo debemos calcular la distancia \(i_{2}\) trazando los rayos, o utilizando la siguiente fórmula:

 

\(\frac{1}{f_{2}}=\frac{1}{p_{2}}+\frac{1}{i_{2}}\)

 

¡Este método puede ser aplicado a un sistema con \(n\) lentes! :O

 

¡Ah, solo una cosa más! La ampliación lateral total \((M)\) en un sistema formado por \(n\) lentes delgadas es dada por:

 

\(M=m_{1} \times m_{2} \times \ldots \times m_{n}\)

 

Donde \(m_{i}\) es la ampliación lateral de la lente \(i\).

 

¿Genial,verdad? ¡Uf! Vayamos a los ejercicios =)

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