Transformación de Lorentz para Espacio y Tiempo

Como adoptamos desde el principio, el sistema de referencia \(S^{\prime}\) se mueve en relación a un segundo sistema de referencia \(S\) con velocidad \(u\).

Para un observador en el referencial \(S^{\prime}\) un evento ocurre en la coordenadas \(\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, t^{\prime}\right)\), mientras que para un observador en el referencial \(S\), el mismo evento ocurre en las coordenadas \((x, y, z, t)\). 

La pregunta es: cuál es la relación entre los dos sistemas de coordenadas?

Transformación de Galileo

Antes de comenzar a estudiar relatividad, si tuviéramos que establecer la relación entre las coordenadas, usaríamos las Transformaciones de Galileo, dadas por:

\(x^{\prime}=x-u t\)

\(t^{\prime}=t\)

"¿En serio este tipo está diciendo que las transformaciones que he usado toda mi vida están mal?"

Calma… podemos utilizar las Transformaciones de Galileo cuando \(u \ll c\), te mostraré esto al final del capítulo, pero por ahora sigamos. 

Transformación de Lorentz para coordenadas

El referencial \(S^{\prime}\) se mueve en relación al referencial \(S\) con velocidad \(u\) en sentido \(+x\). Por tanto, las coordenadas \(y\) y \(z\) siguen siendo las mismas en las dos referenciales. 

Como estamos interesados en saber la relación entre las coordenadas de \(S^{\prime}\) y \(S\), voy a saltarme la parte de la deducción, así que confía en mí, ¿de acuerdo?

La relación entre \(x\) y \(x^{\prime}\) es dada por:

\(x^{\prime}=\gamma(x-u t)\)

\(x=\gamma\left(x^{\prime}+u t^{\prime}\right)\)

Recordando que:

\(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\)

Para hallar la relación entre \(t\) y \(t^{\prime}\), se debe aislar \(x^{\prime}\) o \(x\) de las dos ecuaciones e igualarlas, así:

\(x^{\prime}=\underbrace {\gamma(x-u t)=}_{\text {De la primera ecuación}}\underbrace{-u t^{\prime}+x / \gamma}_{\text {  De la segunda ecuación}}\)

El resultado es el siguiente:

\(t^{\prime}=\gamma\left(t-u x / c^{2}\right)\)

Haciendo lo mismo con \(x\), encontraremos:

\(t=\gamma\left(t^{\prime}+u x^{\prime} / c^{2}\right)\) 

Bien, para simplificarnos la vida, presta atención al siguiente resúmen:

• Transformación de \(\bf {S}\) (en reposo) para \(\bf {S}^\prime\) (en movimiento)

\(x^{\prime}=\gamma(x-u t)\)

\(y^{\prime}=y\)

\(z^{\prime}=z\)

\(t^{\prime}=\gamma\left(t-u x / c^{2}\right)\)

\((\text {Transformaciones de Lorentz para coordenadas})\)

• Transformación de \(\bf {S}^\prime\) (en movimiento) para \(\bf {S}\) (en reposo):

\(x=\gamma\left(x^{\prime}+u t^{\prime}\right)\)

\(y=y^{\prime}\)

\(z=z^{\prime}\)

\(t=\gamma\left(t^{\prime}+u x^{\prime} / c^{2}\right)\)

\((\text {Transformaciones de Lorentz para coordenadas})\)

Ah, sí! Sobre las transformaciones de Galileo, mira esto: en las situaciones en que \(u \ll c, \gamma \rightarrow 1\), las Transformaciones de Lorentz se convierten en transformaciones de Galileo.