Efecto Doppler- Frecuencia y Longitud de Onda

Ya estudiamos este efecto, solo que para ondas sonoras.

En el caso de la luz, ya que no necesita un medio de propagación, el efecto solo depende de la velocidad relativa entre la fuente y el detector. 

Fuente y detector alejándose 

Sí una fuente que está emitiendo ondas luminosas de frecuencia \(f_{0}\) se aleja en línea recta de un detector con velocidad \(u\) (y, por tanto, con parámetros de velocidad \(\beta=\frac{u}{c}\)), la frecuencia \(f\) medida por el detector será dada por:

\(f=f_{0} \sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}\)

La frecuencia \(f_{0}\) es llamada frecuencia propia de la fuente, es decir, la frecuencia medida por un detector en reposo en relación a la fuente.

Fuente y detector aproximándose

Para un detector que está aproximándose a una fuente, basta con sustituir \(\beta\) por \(-\beta\). Esto sucede porque consideramos \({u}\) positiva cuando el detector se está alejando de la fuente y \({u}\) negativa cuando el observador se está aproximando a la misma. 

Por tanto, la frecuencia \(f\) medida por el detector será dada por:

\(f=f_{0} \sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\)

O sea, los signos de la ecuación están invertidos.

Efecto Doppler a bajas velocidades

Para el caso de \(\beta \ll 1\), la frecuencia \(f\) medida por un detector que se está alejando de una fuente será dada por:

\(f=f_{0}\left(1-\beta+\frac{1}{2} \beta^{2}\right)\)

Nuevamente, para un detector aproximándose a una fuente, basta con sustituir \(\beta\) por \(-\beta\). Entonce, la frecuencia \(f\) medida por el detector será dada por:

\(f=f_{0}\left(1+\beta+\frac{1}{2} \beta^{2}\right)\)

Efecto Doppler y Longitud de Onda

Empecemos suponiendo que estamos observando una estrella que se mueve con velocidad \(u\), de forma que se aleja de nosotros.

En ese caso, sí \(\beta \ll 1\), podemos decir:

\(f=f_{0}\left(1-\beta+\frac{1}{2} \beta^{2}\right)\)

Considerando \(\beta\) suficientemente pequeño, podemos incluso ignorar el término al cuadrado y obtener:

\(f=f_{0}(1-\beta)\)

Sustituyendo \(f\) por \(\frac{c}{\lambda}\), tenemos:

\(\frac{c}{\lambda}=\frac{c}{\lambda_{0}} \cdot(1-\beta)\)

\(\lambda=\lambda_{0}(1-\beta)^{-1}\)

Recuerda: esta situación sólo es válida para los casos en que \(\beta\) es muy pequeño. Entonces, haciendo una expansión en serie de potencias, llegaremos a la siguiente expresión. 

\(\lambda=\lambda_{0}(1+\beta)\)

\(\beta=\frac{\lambda-\lambda_{0}}{\lambda_{0}}\)

Sustituyendo \(\beta\) por \(\frac{u}{c}\) y \(\lambda-\lambda_{0}\) por \(|\Delta \lambda|\), tenemos:

\(u=\frac{|\Delta \lambda|}{\lambda_{0}} c\)

\(\text {(Velocidad de la fuente)}\)

Esta ecuación es válida para los casos en que \(u \ll c\).

Donde \(\Delta \lambda\) es llamado desplazamiento Doppler, utilizamos su valor absoluto para que sea siempre positivo. Además, \(\lambda_{0}\) es la longitud de onda propia, dada por la fórmula:

\(\lambda_{0}=\frac{c}{f_{0}}\)

Cuando tenemos que \(\lambda>\lambda_{0}\), la fuente se está alejando del detector y el desplazamiento Doppler se llama corrimiento al rojo.

Cuando tenemos que \(\lambda<\lambda_{0}\), la fuente se está aproximando al detector y el desplazamiento Doppler se llama corrimiento al azul.