Dilatación del Tiempo

Bien, pongamos en práctica algunos de los conceptos que hasta ahora hemos estudiado.

Imagina que, al interior de un vagón de tren hay una fuente de luz en el suelo y un espejo en el techo. 

Vamos a enumerar dos eventos.

El primer evento es la emisión de la luz hacia arriba por la fuente, y el segundo evento es el retorno de la luz a la fuente, luego de haberse reflejado en el espejo.

Analizaremos ese escenario a partir de dos referenciales. 

Primer Referencial

El primer referencial será \(S^{\prime}\), se mueve con la misma velocidad del vagón. Por lo tanto, este se encuentra parado en relación al vagón.

En él, Homero medirá el intervalo de tiempo \(\Delta t_{0}\) entre los dos eventos. 

Homero verá la luz recorrer la trayectoria conforme la siguiente figura. 

El tiempo \(\Delta t_{0}\) que Homero mide entre los dos eventos viene dado por:

\(\Delta t_{0}=\frac{2 d}{c}\)

Donde \(d\) es la altura del vagón y \(c\) es la velocidad de la luz.

Segundo Referencial

El segundo referencial será \(S\), está parado y viendo al vagón desplazarse con una velocidad \(u\). Por lo que él se está moviendo en relación al referencial \(S^\prime\).

En él, Lisa medirá el intervalo de tiempo \(\Delta t\) entre los dos eventos. 

Para Lisa, la luz realizará una trayectoria distinta. 

El tiempo \(\Delta t\) que Lisa mide entre los dos eventos viene dado por:

\(\Delta t=\frac{2 l}{c}\)

Donde usando el teorema de Pitágoras:

\(l=\sqrt{d^{2}+\left(\frac{u \Delta t}{2}\right)^{2}}\) 

Por tanto:

\(\Delta t=\frac{2}{c} \sqrt{d^{2}+\left(\frac{u \Delta t}{2}\right)^{2}}\)

Dilatación del Tiempo

Para relacionar \(\Delta t_{0}\) con \(\Delta t\), debemos aislar \(d^{2}\) en las dos ecuaciones, veamos como queda.

Del tiempo medido por Homero, tenemos:

\(\Delta t_{0}=\frac{2 d}{c} \rightarrow d=\frac{c \Delta t_{0}}{2}\)

\(d^{2}=\frac{c^{2} \Delta t_{0}^{2}}{4}\)

Del tiempo medida por Lisa, tenemos:

\(\Delta t=\frac{2}{c} \sqrt{d^{2}+\left(\frac{u \Delta t}{2}\right)^{2}} \rightarrow d^{2}=\frac{c^{2} \Delta t^{2}}{4}-\frac{u^{2} \Delta t^{2}}{4}\)

Igualando estas dos ecuaciones tendremos:

\(d^{2}=\frac{c^{2} \Delta t_{0}^{2}}{4}=\frac{c^{2} \Delta t^{2}}{4}-\frac{u^{2} \Delta t^{2}}{4}\)

Reordenando la ecuación, llegaremos a esto:

\(\Delta t_{0}^{2}=\Delta t^{2}\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)\)

Y finalmente:

\(\Delta t=\frac{\Delta t_{0}}{\sqrt{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)}}\)

\((\text {Dilatación del tiempo})\)

Esa ecuación muestra que existe un diferencia entre el tiempo medido por Homero (referencial \(S^{\prime}\)) y por Lisa (referencial \(S\)).

Como la velocidad del vagón \(u\) es, y siempre debe ser, menor que la velocidad de la luz \(c\), la ecuación muestra que para los mismos eventos, el tiempo medido por Homero \(\Delta t_{0}\), quién se está moviendo con el vagón, es menor que el tiempo medido por Lisa \(\Delta t\), que representa el referencial que está en reposo. 

Es decir, que cuanto mayor sea la velocidad \(u\) entre los referenciales, mayor será el intervalo de tiempo medido por Lisa \(\Delta t\). 

¡Ah, por cierto! También podemos escribir la ecuación de la siguiente forma:

\(\Delta t=\gamma \Delta t_{0}\)

Donde \(\gamma\) es llamado Factor de Lorentz, y viene dado por:

\(\gamma=\frac{1}{\sqrt{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)}}\)

\(\gamma>1\)

Obs: En algunos sitios, la razón \((u / c)\) puede ser sustituida por el parámetro de velocidad \(\beta\).

Distancia Recorrida

¿Y qué sobre la distancia recorrida en ese intervalo?

Simple!

La distancia recorrida por el tren de acuerdo con el referencial (\(\textbf {S}\)-Lisa) será dada por:

\(D=u \Delta t\)

De acuerdo con el referencial, el tiempo será:

\(\Delta t=\frac{\Delta t_{0}}{\sqrt{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)}}\)

Entonces, la distancia recorrida por el tren que mediremos será:

\(D=\frac{u \Delta t_{0}}{\sqrt{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)}}\)

Por lo tanto, es importante saber distinguir exactamente los referenciales y saber en cuál de ellos estamos trabajando.

Parece fácil, pero hay que practicar.