Contracción de la Longitud

La situación que veremos a continuación es muy parecida a la del capítulo anterior.

Imagina el mismo vagón que usamos en el capítulo de Dilatación del Tiempo y que, en su interior, ahora existe una regla colocada horizontalmente. 

El primer evento es la emisión de luz hacia la derecha por parte de la fuente, y el segundo evento es el retorno de la luz hacia la fuente, luego de haberse reflejado en el espejo.

Analicemos dicho escenario.

Primer Referencial

Nuevamente, llamaremos \(S^\prime\) al primer referencial, y este se moverá a la misma velocidad que el vagón. En él, Homero observará la trayectoria del haz de luz entre los dos eventos.

Homero verá la luz recorrer la trayectoria descrita por la imagen. 

 Ya que la luz va y viene, Homero verá la luz recorriendo una distancia \(2 l_{0}\). Entonces:

\(\Delta x^{\prime}=2 l_{0}=c \Delta t_{0}\)

\(\Delta t_{0}=\frac{2 l_{0}}{c}\)

Donde \(l_{0}\) es la longitud de la regla observada por Homero.

Segundo Referencial

El segundo referencial es designado por la letra \(S\), se encuentra en reposo y viendo al vagón con una velocidad \(u\). Por tanto, está en movimiento en relación al referencial \(S^{\prime}\). 

En él, Lisa observará la trayectoria del haz de luz entre los dos eventos. 

Para Lisa, la luz realizará una trayectoria diferente. 

La regla se desplaza con una velocidad \(u\) en el referencial de Lisa. Vamos a dividir el análisis en dos partes.

Cuando la luz sale de la fuente, hasta encontrar el espejo, recorre una distancia \(\Delta x_{1}\), dada por:

\(\Delta x_{1}=l+u \Delta t_{1}=c \Delta t_{1}\)

\(\Delta t_{1}=\frac{l}{c-u}\)

Cuando la luz se refleja en el espejo, hasta volver a la fuente, recorre una distancia \(\Delta x_{2}\), dada por:

\(\Delta x_{2}=l-u \Delta t_{2}=c \Delta t_{2}\)

\(\Delta t_{2}=\frac{l}{c+u}\)

Donde \(l\) es la longitud de la regla observada por Lisa.

El tiempo total \(\Delta t\) viene dado por:

\(\Delta t=\Delta t_{1}+\Delta t_{2}=\frac{l}{c-u}+\frac{l}{c+u}\)

\(\Delta t=\frac{2 l}{c\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)}\)

Contracción de la Longitud 

Podemos relacionar \(\Delta t_{0}\) y \(\Delta t\) a través de la ecuación de Dilatación del tiempo que vimos antes:

\(\Delta t=\frac{\Delta t_{0}}{\sqrt{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)}}\)

Ahora que para esta situación hemos encontrado expresiones para \(\Delta t_{0}\) y \(\Delta t\), debemos sustituir las expresiones que encontramos en la ecuación anterior. 

\(\Delta t_{0}=\Delta t \sqrt{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)}\)

\(\frac{2 l_{0}}{c}=\frac{2 l}{c\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)} \sqrt{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)}\)

\(\frac{2 l_{0}}{c}=\frac{2 l}{c} \frac{1}{\sqrt{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)}}\)

Finalmente, reordenando la ecuación obtendremos esto:

\(l=l_{0} \sqrt{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)}\)

\((\text {Contracción de la Longitud})\)

El término \(l_{0}\) es llamado “longitud propia” o “longitud de reposo”, y se refiere a la longitud medida por Homero en el referencial \(S^{\prime}\), donde los dos eventos ocurren en el mismo lugar del espacio donde los dos eventos ocurren en el mismo lugar del espacio (la salida del láser de la fuente y la llegada del láser a la fuente).

Dicha ecuación muestra que existe una diferencia entre la longitud de la regla observada por Homero (referencial \(S^\prime\)) y por Lisa (referencial \(S\)).

Como la velocidad del vagón \({u}\) es menor que la velocidad de la luz \({c}\), la ecuación nos muestra que, para los mismos eventos, la longitud medida por Homero \(l_{0}\), que se está moviendo junto con el vagón, es mayor que la longitud medida por Lisa \(l\), quien está en reposo. 

Por tanto, cuanta mayor velocidad \(u\) entre los referenciales, menor será la longitud medida por Lisa \(l\).

¡Ah! También podemos escribir la ecuación así:

\(l=\frac{l_{0}}{\gamma}\)

Donde \(\gamma\) representa al Factor de Lorentz, que viene dado por:

\(\gamma=\frac{1}{\sqrt{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)}}\)

\(\gamma>1\)

Contracción de la Longitud y el Tiempo

Imagina que, de repente, estás en una nave espacial y en eso explota una estrella, te asustas y sales despavorido de ahí. Tu nave tiene una velocidad \(u\) y calculas que para escapar con éxito tendrá que recorrer \(\Delta l\) (medida en el referencial de las estrellas). 

La primera pregunta es: Cuánto tiempo, medido en el referencial de las estrellas, será necesario para huir de ahí?

El tiempo medido en el propio referencial de las estrellas será dado por:

\(\Delta t=\frac{\Delta l}{u}\)

Hasta aquí ningún problema ya que todos los datos y cálculos se están haciendo para un mismo referencial. 

La siguiente pregunta es: Cuánto tiempo, medido en tú referencial, será necesario para huir?

Recuerda que hay dos maneras de calcular el intervalo de tiempo \(\Delta t_{0}\).

La primera es: calculando el intervalo \(\Delta t\) en el referencial de las estrellas, podemos usar la ecuación de dilatación del tiempo para calcular \(\Delta t_{0}\), observa:

\(\Delta t=\frac{\Delta t_{0}}{\sqrt{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)}} \rightarrow \Delta t_{0}=\Delta t \sqrt{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)}\)

La segunda es: si no todavía no has calculado el intervalo \(\Delta t\), puedes utilizar la siguiente ecuación de cinemática.

\(\Delta t_{0}=\frac{\Delta l_{0}}{u}\) 

Usando la ecuación de contracción de la longitud, tenemos que:

\(\Delta l=\Delta l_{0} \sqrt{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)} \rightarrow \Delta l_{0}=\frac{\Delta l}{\sqrt{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)}}\)

Sustituyendo en la ecuación, tendremos:

\(\Delta t_{0}=\frac{\Delta l}{u}\left[\frac{1}{\sqrt{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)}}\right]\)

A fin de cuentas, las dos maneras llevan al mismo resultado (como tiene que ser) pero es importante saber distinguir los referenciales y en cuál de ellos estamos trabajando.

Vayamos a los ejercicios.