Transformación de Lorentz para la Velocidad

Nuevamente, el sistema de referencia \(S\) se mueve en relación a un segundo sistema de referencia \(S\) con velocidad \(u\) en dirección \(+x\).

 

Por definición, la velocidad en el referencial \(S^{\prime}\) es dada por:

 

\(v_{x}^{\prime}=\frac{d x^{\prime}}{d t^{\prime}}\)

 

A partir de las Transformación de Lorentz para el Espacio-Tiempo podemos decir que:

 

\(d x^{\prime}=\gamma(d x-u d t)\)

 

\(d t^{\prime}=\gamma\left(d t-u d x / c^{2}\right)\)

 

Partiendo de este punto, haciendo la división y reordenando los términos, obtendremos lo siguiente:

 

\(v_{x}^{\prime}=\frac{v_{x}-u}{1-u v_{x} / c^{2}}\)

 

Podemos utilizar exactamente el mismo razonamiento para calcular todas las otras velocidades, por ejemplo:

 

\(v_{y}^{\prime}=\frac{d y^{\prime}}{d t^{\prime}}\)

 

\(v_{z}^{\prime}=\frac{d z^{\prime}}{d t^{\prime}}\)

 

\(v_{x}=\frac{d x}{d t}\)

 

\(v_{y}=\frac{d y}{d t}\)

 

\(v_{z}=\frac{d z}{d t}\)

 

Pero para no rompernos la cabeza, hagamos lo siguiente.

 

  • Transformación de \(\bf {S}\) (en reposo) para \(\bf {S}^\prime\) (en movimiento)

 

\(v_{x}^{\prime}=\frac{v_{x}-u}{1-\frac{u v_{x}}{c^{2}}}\)

 

\(v_{y}^{\prime}=\frac{v_{y}}{\gamma\left(1-\frac{u v_{x}}{c^{2}}\right)}\)

 

\(v_{z}^{\prime}=\frac{v_{z}}{\gamma\left(1-\frac{u v_{z}}{c^{2}}\right)}\)

 

\(\text {Transformación de Lorentz para velocidad}\)

 

  • Transformación de \(\bf {S}^\prime\) (en movimiento) para \(\bf {S}\) (en reposo):

 

\(v_{x}=\frac{v_{x}^{\prime}+u}{1+\frac{u v_{x}^{\prime}}{c^{2}}}\)

 

\(v_{y}=\frac{v_{y}^{\prime}}{\gamma\left(1+\frac{u v_{x}^{\prime}}{c^{2}}\right)}\)

 

\(v_{z}=\frac{v_{z}^{\prime}}{\gamma\left(1+\frac{u v_{x}^{\prime}}{c^{2}}\right)}\)

 

\(\text {Transformación de Lorentz para velocidad}\)

 

Nuevamente, en situaciones donde \(u \ll c, \gamma \rightarrow 1\), y las Transformaciones de Lorentz se convierten en transformaciones de Galileo.

 

Obs.: Debes tener cuidado de no confundir las velocidades \(u\) y \({v}_{\mathcal{X}}\), por ejemplo. La velocidad \(u\) es la velocidad con la cual el referencial \(S^{\prime}\) se mueve en relación al referencial \(S\). Mientras que la velocidad \(v_{x}\) es la velocidad en el eje \(x\) de un evento observado en el referencial \(S\) y \(v_{x}^{\prime}\) es la velocidad en el eje \(x\) de un evento observado en el referencial \({S}^{\prime}\).