Producto Escalar o Interno

Hace mucho tiempo que aprendimos a multiplicar por dos cifras, por ejemplo, \(2 \times 2=4\).

Pero, ¿cómo multiplicamos dos vectores? Suponiendo que tenemos los siguientes vectores: \(\vec{u}=(2,1,0)\) y \(\vec{v}=(1,0,1)\)

¿Cuál sería el resultado?

No te desesperes, a continuación abordaremos este tema.

El producto entre vectores puede ser escalar o vectorial. Sin embargo, en esta oportunidad hablaremos sobre el producto escalar o interno, el resto lo dejamos para luego. 

¡Comencemos! 

Vamos a suponer que tenemos dos vectores cualquiera, \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\).

El producto escalar de los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) es representado de la siguiente forma:

\[\vec{u} \cdot \vec{v} \space \space \text {o} \space <\vec{u}, \vec{v}>\]

Generalmente, es utilizada la forma del punto, \(\bullet\). Pero cuidado: ese punto no indica una multiplicación normal como a la que estamos acostumbrados a hacer con los números reales, sino un producto escalar entre dos vectores. 

Ya sabemos cómo se representa, sabemos que es entre vectores, PERO ¿CÓMO SE CALCULA?

Pues, una forma de calcular el producto interno es multiplicar las coordenadas equivalentes y luego sumar con las demás. “¡¿Qué?!”

Bien, vamos a considerar los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\). Entonces tendríamos:

Ahora podemos entender porqué se llama producto ESCALAR, pues a pesar de que el producto sea entre dos vectores, el resultado es un número escalar. 

Ya teniendo claro cómo se hace el producto interno, podemos escribir una fórmula general.

Siendo \(\vec{u}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)\) y \(\vec{v}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\), tendremos:

\[\vec{u} \cdot \vec{v}=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2}\]

El producto escalar también tiene sus propiedades:

     \(\bullet\) Conmutativa: \(\rightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u}\)

     \(\bullet\) Distributiva en relación a la suma de vectores \(\rightarrow \vec{u} \cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{u} \cdot \vec{w}\)

     \(\bullet\) Módulo \(\rightarrow \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}=|\vec{u}|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}\)

Siempre hemos oído que el módulo de un vector es la longitud del mismo. Eso es cierto, sin embargo, en geometría puede ser interpretado como la distancia entre dos puntos.

“¿Pero cómo es posible?”

Por ejemplo, tenemos dos puntos \(A(1,0,1)\) y \(B(2,0,3)\). El vector formado por los puntos \(A\) y \(B\) es el vector \(\overrightarrow{A B}\), que equivale a:

\[\overrightarrow{A B}=B-A=(2,0,3)-(1,0,1)=(1,0,2)\]

Entonces, la distancia entre los puntos \(A\) y \(B\) será:

\[|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\]

“¿Pero será que el producto interno solo puede ser calculado de esa manera?” ¡Pues no!

Dependiendo de los datos que nos sean proporcionados, es preferible usar una segunda manera, que utiliza el módulo de los vectores y el ángulo entre ellos. La segunda manera es:

\[\vec{u} \cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}| \cos \theta\]

Entonces, las dos formas que aprendimos para calcular el producto interno son equivalentes:

\[\vec{u} \cdot \vec{v}=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2}=|\vec{u}||\vec{v}| \cos \theta\]

A través de la segunda forma podemos calcular el ángulo entre los vectores considerados. De hecho, la fórmula para calcular dicho ángulo es la siguiente:

\[\cos \theta=\frac{(\vec{u} \cdot \vec{v})}{|\vec{u}||\vec{v}|}\]

La fórmula anterior no es más que otra manera de escribir el segundo método para calcular el producto escalar.

Hasta ahora hemos visto que, con el producto escalar, podemos calcular tanto el ángulo entre dos vectores como el módulo de un vector. “¿Y eso será todo?”

¡Pues no, ahora es que viene lo interesante!

“El producto escalar es CERO cuando dos vectores son ortogonales, es decir, forman \(90^{\circ}\) entre sí”.

Esto debido a que, por la segunda definición, si \(\theta=90^{\circ}\), entonces \(\cos 90^{\circ}=0\).

Recuerda esto porque nos será de mucha utilidad al resolver ejercicios. 

Para finalizar, hablemos sobre qué es una proyección y cómo determinarla.

Tenemos los vectores \(\overrightarrow{B A}\) y \(\overrightarrow{B C}\). ¿Cuál es ese vector naranja? Ese vector es una PROYECCIÓN del vector \(\overrightarrow{B A}\) sobre \(\overrightarrow{B C}\). Una proyección es la “sombra” de un vector sobre el otro. 

¿Cómo hallar el vector proyección?

El tema es un poco extenso y tedioso, pero nada que no se pueda resolver practicando, ¡no olvides de echarle un vistazo a los ejercicios!