Producto Vectorial

Imagina que compraste un apartamento, pero solo tienes los planos. Quieres comprar un piso nuevo para así remodelar la sala. Si pudieras entrar al apartamento, con ayuda de un metro medirías el ancho y largo de la sala. De esta forma, el área sería:

\[A=\text { ancho } x \text { largo }\]

Sin embargo, solo tienes los planos. Y peor aún, el plano no tenía el tamaño de la sala en \(m^{2}\), sino en vectores. “¿Vectores? ¿Qué clase de loco construyó este edificio?”

Pero no te preocupes, porque aquí aprenderás a calcular el área usando vectores. ¡Comencemos!

En esta ocasión abordaremos el tema del “Producto vectorial”.

El producto vectorial, es el producto entre dos vectores, por ejemplo, digamos que los vectores de tu sala son:

\[\vec{u}=(1,2,1) \space \text{ y } \space \vec{v}=(2,3,2)\]

El producto vectorial de estos sería indicado por \(\vec{u} \times \vec{v}\) o \(\vec{u} \space \Lambda \space \vec{v}\). ¿Y cómo se resuelve?

Para resolver tendremos que armar un determinante, de la siguiente manera:

En la primera línea, siempre debemos colocar los vectores de la base cartesiana que indican \(x, y\) y \(z\). En este caso, decimos que \(\vec{i}, \vec{j}\) y \(\vec{k}\) son los vectores unitarios en las direcciones \(x, y\) y \(z\), respectivamente.

La segunda y la tercera son las componentes de los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\), estas deben permanecer en su respectivo orden. 

El resto del proceso es el mismo 

\[\vec{u} \times \vec{v}=\vec{i}+0 \vec{j}-\vec{k}\]

“¿Pero qué es eso extraño de ahí?”

¿Recuerdas que los vectores \(\vec{i}, \vec{j}\) y \(\vec{k}\) son unitarios en la dirección de los ejes \(x, y\) y \(z\) respectivamente?

Entonces, tenemos \(1\) en la dirección \(x\), \(0\) en la dirección \(y\) y \(-1\) en la dirección \(z\) (son los coeficientes de la ecuación que hallamos). 

Por tanto:

\[\vec{u} \times \vec{v}=(1,0,-1)\]

Al calcular el producto vectorial de \(\vec{u} \times \vec{v}\) descubrimos que el producto vectorial de dos vectores, genera otra vector. Por tal razón es llamado producto “vectorial”. 

“¿Y cuales son sus propiedades?”

Sus propiedades son:

     \(\bullet\) \(\vec{u} \times \vec{u}=0\), cualquiera que sea \(\vec{u}\)

     \(\bullet\) \(\vec{u} \times \vec{v}=-\vec{v} \times \vec{u}\), el producto vectorial no es conmutativo.

     \(\bullet\) \(\vec{u} \times(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u} \times \vec{v}+\vec{u} \times \vec{w}\)

     \(\bullet\) \(\vec{u} \times \vec{v}=\overrightarrow{0}\) si, y solamente si, uno de los vectores es nulo o si \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) son colineales.

     \(\bullet\) \(\vec{u} \times \vec{v}\) es ortogonal simultaneamente a los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\).

     \(\bullet\) El producto vectorial no es asociativo: \(\vec{u} \times(\vec{v} \times \vec{w}) \neq(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w}\)

Y seguramente estés pensando: “Todo bien, pero… ¿cuál es el área de mi sala?”

Ya hablamos sobre cómo hallar el producto vectorial, ¿cierto? Pero todavía no hemos hablado sobre el módulo del producto vectorial. 

Por definición, el módulo del producto vectorial es:

\[|\vec{u} \times \vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}| \sin \theta\]

Gráficamente:

Si quisiéramos calcular el área del paralelogramo \(A B C D\), hacemos lo siguiente:

\[A= base \space \text{x} \space altura =|\vec{u}||\vec{v}| \sin \theta\]

El módulo del producto vectorial corresponde al área del paralelogramo.

Entonces, ¿cuál sería el área del apartamento que compraste?

Como ya calculamos que \(\vec{u} \times \vec{v}\) corresponde al vector \((1,0,-1)\), entonces solo nos queda calcular el módulo del vector que encontramos:

\[|\vec{u} \times \vec{v}|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2} u . a\]

Obs: \(\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{a}\) solo es un nomenclatura que utilizamos para referirnos al término “unidad del área”.

Recordando que si en lugar tener el producto vectorial, tuviéramos el ángulo entre los vectores, podríamos hallar el mismo resultado a través de la fórmula:

\[|\vec{u} \times \vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}| \sin \theta\]

Para finalizar: 

¡Cuidado! El producto vectorial genera un vector, y su módulo genera un número escalar, entonces, no pienses que \(\vec{u} \times \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}| \sin \theta\) PORQUE ES INCORRECTO.

¡Y eso es todo amigos, hasta la próxima! No olvides practicar en la sección de ejercicios.