Combinación y Dependencia lineal

¡Bienvenidos, espero que estén genial!

 

En esta ocasión estudiaremos dos conceptos super importantes, así que presta atención. 

 

Por suerte, son fáciles de entender 😊

 

Combinación lineal

 

Una combinación lineal \((CL)\) es una suma de vectores, es decir, un vector escrito en función a otros vectores. Veamos otro ejemplo:

 

Imagina que queremos escribir \(\vec{w}=(1,2,3)\) en función de \(\vec{u}=(0,1,1)\) y de \(\vec{v}=(2,2,4)\).

 

Debemos hallar una forma que, sumando \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\), llegamos a \(\vec{w}\). Para ello, vamos a escribir la siguiente expresión:

 

\[\vec{w}=a \vec{u}+b \vec{v}\]

 

Debemos hallar los coeficientes \(a\) y \(b\).

 

Sustituyendo los vectores

 

\[(1,2,3)=a(0,1,1)+b(2,2,4)\]

 

Desarrollando esa expresión:

 

\[\left\{\begin{array}{c}1=0 a+2 b(I) \\ 2=1 a+2 b(I I) \\ 3=1 a+4 b(I I I)\end{array}\right.\]

 

De \((I), b=\frac{1}{2}\). Sustituyendo en \((II)\), tenemos

 

\[2=1 a+2 \times \frac{1}{2}\]

 

\[2=1 a+1\]

 

\[a=1\]

 

¡Hallamos los coeficientes! Veamos qué ocurre si los sustituimos en \((I I I)\)

 

\[1 \times 1+4 \times \frac{1}{2}=3\]

 

¡La respuesta es correcta!

 

De hecho, ten en cuenta que \(\vec{w}=1 \vec{u}+\frac{1}{2} \vec{v}\).

 

Y lo que acabamos de hacer puede ser representado de la siguiente forma:

 

 

Veamos un último ejemplo:

 

¿El vector \(\vec{h}=(2,3,5)\) es \(C L\) de los vectores \(\vec{u}=(5,1,2), \vec{v}=(1,2,3)\) y \(\vec{t}=(0,2,4)\)?

 

Escribiendo la expresión general,

 

\[\vec{h}=a \vec{u}+b \vec{v}+c \vec{t}\]

 

\[(2,3,5)=a(5,1,2)+b(1,2,3)+c(0,2,4)\]

 

Desarrollando esa expresión:

 

\[\left\{\begin{array}{c}2=5 a+1 b+0 c(I) \\ 3=1 a+2 b+2 c(I I) \\ 5=2 a+3 b+4 c(I I I)\end{array}\right.\]

 

De \((I)\), obtenemos que \(b=2-5 a(i)\). Sustituyendo en \((II)\):

 

\[3=1 a+2(2-5 a)+2 c\]

 

\[3=1 a+4-10 a+2 c\]

 

\[c=\frac{9 a-1}{2}(i i)\]

 

Sustituyendo \((i)\) y \((i i)\) en \((I I I)\):

 

\[5=2 a+3(2-5 a)+4\left(\frac{9 a-1}{2}\right)\]

 

\[5=2 a+6-15 a+18 a-2\]

 

\[5=5 a+4\]

 

\[a=\frac{1}{5}\]

 

Sólo falta hallar \(b\) y \(c\)

 

\[b=2-5 \times \frac{1}{5} \rightarrow b=1\]

 

\[c=\left(\frac{9 \times \frac{1}{5}-1}{2}\right) \rightarrow c=\frac{2}{5}\]

 

Vamos a sustituir en la expresión original 

 

\[(2,3,5)=\frac{1}{5}(5,1,2)+1(1,2,3)+\frac{2}{5}(0,2,4)\]

 

Dependencia lineal

 

Para saber si un conjunto de vectores es linealmente dependiente \((\mathrm{LD})\) o linealmente independiente \((\mathrm{LI})\) solo debemos verificar si alguno de ellos es una combinación lineal de los demás. Si es una combinación lineal, el conjunto es \((\mathrm{LD})\). De lo contrario, el conjunto es \((\mathrm{LI})\).

 

¿No lo has entendido aún? Veamos un ejemplo para que todo quede claro.

 

Tenemos este conjunto de vectores:

 

\[\{(1,1),(1,0)\}\]

 

¿Será que haciendo una \(C L\) podremos generar el vector nulo? Veámoslo:

 

\[a(1,1)+b(1,0)=(0,0) \Rightarrow\]

 

\[(a, a)+(b, 0)=(0,0) \Rightarrow\]

 

\[(a+b, a)=(0,0)\]

 

Armando el sistema:

 

\[\left\{\begin{array}{c}a+b=0 \\ a=0\end{array}\right.\]

 

Podemos ver que \(a=0\), y por consecuencia \(b=0\).

 

Por tanto, solo existe una forma de generar el vector nulo, que es \(a=0\) y \(b=0\), y esa solución no nos sirve. Cuando la ÚNICA forma de generar el vector nulo es con todos los coeficientes iguales a cero, el conjunto es \(LI\).

 

“¿Y en el caso de que esto no ocurra?” Decimos que el conjunto de vectores es linealmente independiente \((\text { LD })\).

 

Veamos algunos ejemplos.

 

Ejemplo: ¿el conjunto \(\{(1,1,1),(0,1,0)\}\) es \(L I\) o \(L D\)?

 

Aplicando la definición

 

\[a(1,1,1)+b(0,1,0)=0 \Rightarrow\]

 

\[(a, a+b, a)=0 \Rightarrow\]

 

\[\left\{\begin{array}{c}a=0 \\ a+b=0 \Rightarrow b=0 \\ a=0\end{array}\right.\]

 

Como podemos ver, al usar la definición siempre obtendremos un sistema lineal del cual debemos hallar los valores para los coeficientes. En este caso, hallamos que \(a=b=0\), es decir, los coeficientes siempre son \(0\). Y de acuerdo con la definición, los vectores son \(L I\), porque todos los coeficientes serán nulos. 

 

Ejemplo: ¿el conjunto \((1,0),(0,1),(2,2)\) es \(L D\) o \(L I\)?

 

Veamos

 

\[a(1,0)+b(0,1)+c(2,2)=0 \Rightarrow\]

 

\[(a+2 c, b+2 c)=0\]

 

Igualando los vectores y armando el sistema:

 

\[\left\{\begin{array}{c}a+2 c=0(I) \\ b+2 c=0(I I)\end{array}\right.\]

 

Si hacemos \((I)-(I I)\), tenemos:

 

\[a-b=0 \Rightarrow\]

 

\[a=b\]

 

Aún no hemos terminado, tenemos que sustituir en alguna de las otras ecuaciones para ver las relaciones con el coeficiente \(c\), porque todo debe estar en función de una misma constante. Vamos a sustituir en \((I I)\):

 

\[b+2 c=0 \Rightarrow\]

 

\[a+2 c=0 \Rightarrow\]

 

\[a=-2 c\]

 

Entonces hallamos que:

 

\[a=b \space \text{ y }\space a=-2 c \therefore\]

 

\[b=-2 c\]

 

¡Qué respuesta tan confusa! ¿Qué quiere decir eso?

 

Eso significa que si tenemos \(a=-2 c\) y \(b=-2 c\) y sustituimos en \(a(1,0)+b(0,1)+c(2,2)=0\), siempre tendremos el vector nulo. Mira:

 

\[(a+2 c, b+2 c)=0 \Rightarrow\]

 

\[(-2 c+2 c,-2 c+2 c)=0 \Rightarrow\]

 

\[(0,0)=0\]

 

Entonces, si, por ejemplo, \(c=1\), basta que \(a=b=-2\). De esa forma, la ecuación sería:

 

\[-2(1,0)+(-2)(0,1)+1(2,2)=0\]

 

¡Pero podríamos multiplicar la ecuación por cualquier constante! Como por ejemplo, por \(3\):

 

\[-6(1,0)+(-6)(0,1)+3(2,2)=0\]

 

Entonces tenemos infinitas posibilidades de generar el vector nulo. Eso quiere decir que el conjunto es \(L D\).

 

Métodos prácticos

 

Ese último ejercicio fue un tanto complicado, ¿verdad? Pues, realmente existen maneras más prácticas de saber si un conjunto es \(L I\) o \(L D\). Una de ellas es la siguiente:

 

Tip: un conjunto de vectores es \(L D\) si, y solamente si, algunos de sus vectores es \(C L\) de los demás.

 

Por tanto, en el ejemplo anterior bastaba con hacer esto:

 

\[(2,2)=2(1,0)+2(0,1)\]

 

Y listo, el conjunto es \(L D\).

 

Existen otro par de métodos que nos ayudarán a saber si un conjunto de vectores es \(L I\) es \(L D\).

 

     \(1.\) Observar cuál vector es \(CL\) de los demás. Obs: normalmente es el método más rápido.

 

     \(2.\) Verificar los ceros en las coordenadas de los vectores.

 

Estos dos métodos utilizan el tip que acabo de mencionar, porque si descubres cuál es \(CL\) del resto, entonces podemos decir que el conjunto es \(LD\). Si no encuentras ningún vector así, entonces el conjunto es \(L I\).

 

Ejemplo: ¿el conjunto \(\{(1,0,0),(0,1,1),(1,1,1)\}\) es \(L I\) o \(L D\)?

 

Podemos ver que:

 

\[(1,1,1)=(1,0,0)+(0,1,1)\]

 

Entonces, el tercer vector es una \(CL\) de los demás y el conjunto es \(LD\).

 

Ejemplo: ¿el conjunto \(\{(1,1,1),(0,0,0)\}\) es \(L D\) o \(L I\)?

 

Ahí te va un truco. Ves que tiene el vector nulo, ¿no? Vamos a usar la definición:

 

\[a(1,1,1)+b(0,0,0)=0 \Rightarrow\]

 

\[a(1,1,1)=0 \Rightarrow\]

 

\[\left\{\begin{array}{l}a=0 \\ a=0 \\ a=0\end{array}\right.\]

 

Y piensas, “Ahh, entonces todos los coeficientes son cero, por tanto, el conjunto es \(LI\)”.

 

 

Mira, \(b\) multiplicó el vector nulo, cuando sumamos este despareció, PERO ESO NO QUIERE DECIR QUE SEA CERO. Quiere decir que es cualquier cosa, entonces tenemos infinitas posibilidades para \(b\) Y POR ESO EL CONJUNTO ES \(LD\).

 

Por tanto, siempre que tengamos al vector nulo, el conjunto será \(LD\), porque siempre pasará lo mismo que acabamos de ver.  

 

¡Y eso es todo! No olvides practicar, échale un vistazo a los ejercicios.