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Operaciones con vectores

Los vectores, así como los números, pueden ser sumados, restados, multiplicados…

 

En esta ocasión veremos cómo realizar operaciones con vectores.

 

Suma

 

Una de las operaciones es la suma de vectores. Por ejemplo, si tenemos dos vectores, \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\), ¿cuál es la suma de esos dos vectores? Considerando la figura:

 

 

Entonces, por la figura tenemos que \(\vec{s}=  \vec{u}+ \vec{v}\). Como podemos ver, para hacer la suma de los dos vectores debemos dibujar un vector seguido del otro, respetando el sentido de cada uno de ellos. De esta forma, el vector suma será aquél que va desde el origen del primer vector hasta el extremo del último vector. 

 

“¿Y en caso de que no se pueda hacer de esa forma?”

 

Cuando no podamos colocar el extremo de un vector en el origen del otro, usamos la regla del paralelogramo. Mira la siguiente figura:

 

 

Solo se deben trazar dos rectas, formando un paralelogramo, hasta que se encuentren. Cuando esto ocurra, el vector suma, también conocido como resultante, será la diagonal del paralelogramo. 

 

\[\vec{s}=\vec{R}\]

 

Pero, si estuviéramos en el plano cartesiano, no tendríamos que dibujar los vectores, porque la suma de dos vectores es la suma de las coordenadas de cada vector. Por ejemplo:

 

\[\vec{u}=(x_{1},y_{1},z_{1}) \space \text { y } \space \vec{v}=(x^{2},y^{2},z^{2})\]

 

\[\vec{s}= \vec{u}+ \vec{v}=(x_{1},y_{1},z_{1}) + (x_{2},y_{2},z_{2})\]

 

\[\vec{s}=\big(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}, z_{1}+z_{2}\big)\]

 

A continuación, algunas propiedades de la suma de vectores:

 

     \(\bullet\) Conmutativa: \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\)

 

     \(\bullet\) Asociativa: \((\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})\)

 

Resta

 

Otra de las operaciones es la resta de vectores. No deja de ser una suma, lo que cambia es que usaremos vectores opuestos, así:

 

 

Esa figura representa la siguiente diferencia:

 

\[\vec{d}=\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+\bigg(-\vec{v}\bigg)\]

 

La regla de paralelogramo también puede ser aplicada en este caso.

 

 

En la cual \(\vec{R}\) es el vector resultante que, en este caso, representa la resta de los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\).

 

\[\vec{R}=\vec{d}=\vec{u}-\vec{v}\]

 

En realidad, esa es la suma del vector \(\vec{u}\) con el vector \(-\vec{v}\). Entonces para hacer la suma debemos dibujar el opuesto del vector \(-\vec{v}\). O, si tenemos los vectores en el plano cartesiano, solo debemos hacer:

 

\[\vec{d}=\vec{u}-\vec{v}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)-\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)=\left(x_{1}-x_{2}, y_{1}-y_{2}, z_{1}-z_{2}\right)\]

 

Multiplicación por un número real

 

Entre las operaciones también podemos encontrar la multiplicación de un vector por un número real \(\boldsymbol{k}\). Cuando multiplicamos un vector por un número real su dirección no sufre alteraciones. Mientras que por otro lado, su módulo y sentido pueden verse afectados.

 

 

Como se muestra en la figura, tenemos al vector \(\vec{u}\). Si multiplicamos por \(k=2\) obtendremos \(2\vec{u}\), que posee el mismo sentido que \(\vec{u}\), pero su longitud es el doble.

 

Y si \(\vec{u}\) es multiplicado por \(k=-2\), obtenemos el vector \(-2\vec{u}\) que posee sentido contrario al de \(\vec{u}\) y el doble de longitud que \(\vec{u}\). Para la base cartesiana, tendríamos:

 

\[k \vec{u}= k(x_{1}, y_{1}, z_{1})=(kx_{1}, ky_{1}, kz_{1})\]

 

Propiedades de la multiplicación por un número real:

 

     \(\bullet\) \(a(b \vec{u})=(a b) \vec{u}\)

 

     \(\bullet\) \((a+b) \vec{u}=a \vec{u}+b \vec{u}\)

 

     \(\bullet\) \(a(\vec{u}+\vec{v})=a \vec{u}+a \vec{v}\)

 

Descomposición de vectores

 

¿Que quiere decir descomposición?

 

Significa que un vector puede ser escrito como una combinación lineal de otros vectores. Como se observa en la imagen:

 

 

\[\vec{w}=a \vec{u}+b \vec{v}\]

 

Ya sabemos que es un vector, su definición y cómo realizar operaciones con vectores. A continuación, veremos algunos conceptos esenciales para resolver problemas. 

 

¿Qué son los vectores colineales? ¿Y los vectores coplanares?

 

¿No lo sabes? Tranquilo, presta atención

 

Dos vectores son colineales si poseen la misma dirección, es decir, dos vectores son colineales si estos forman parte de una misma recta o de rectas paralelas.

 

Mientras que tres o más vectores son coplanares si pertenecen al mismo plano. 

 

 

Eso es todo, ¡vamos a los ejercicios!

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