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Dependencia Lineal y Proposiciones

Introducción

 

Antes de empezar, te recomiendo MUCHISIMO haber leído los temas de: combinación lineal y dependencia lineal, porque estos son super esenciales para entender lo que está a continuación. 

 

Como repaso, veamos brevemente la definición de la dependencia lineal:

 

 

Probando Proposiciones

 

Por lo general, en algunas preguntas te pueden pedir que pruebes que algunos vectores genéricos son \(L I\), es decir, vectores con \(n\) coordenadas. Pero te tengo un truco:

 

“Siempre que te pidan algo así, nunca establezcas las coordenadas de tu vector”

 

Siempre trabajarás representandolo por una letras: \(u, v, w, \ldots\)

 

Además, ese tipo de preguntas comienzan con un \(“Si,\ldots, entonces,\ldots\). Cuando veas eso puedes estar seguro de que se trata de una proposición, entonces NORMALMENTE el mejor método para resolver esto es seguir los pasos para probar una proposición.

 

Pero puede ser que exista otra manera de resolver la pregunta o no, generalmente sí. Cuando esto ocurre, debemos utilizar una especie de “truco algebraico”.

 

Entonces, veamos algunos ejemplos para entender mejor lo que estamos hablando.

 

Ejemplo: pruebe que: Si \(\{v, u\}\) es \(L I\), entonces el conjunto \(\{v, u+v\}\) es \(L I\).

 

Antes que nada vamos a separarlo en dos: hipótesis y tesis. 

 

Hipótesis: Si \(\{v, u\}\) es \(L I\)

 

Tesis: el conjunto \(\{v, u+v\}\) es \(L I\)

 

Ahora, ten en cuenta que si solo estuviera escrito que \(\{v, u+v\}\) es \(L D\) o \(L I\), no podríamos resolverlo, pues no existiría hipótesis para aplicar. 

 

Pero en fin, comencemos a resolver. Si queremos probar que son \(L I\) entonces queremos hallar los coeficientes reales, que multiplicados por los vectores de la tesis (porque es eso lo que queremos probar) serán sólo y únicamente iguales a cero. Entonces, vamos a aplicar la definición de independencia lineal:

 

\[a v+b(u+v)=0, a, b \in \mathbb{R}\]

 

Siempre que pongas una nueva letra durante el desarrollo del ejercicio, debes explicar de dònde salió, a cuál conjunto pertenece, etc… 

 

Bien, ahora el asunto es hallar que \(a=b=0\). Y en este punto es que vamos a diferir un poco con el esquema de proposiciones, porque no vamos a hallar tan sencillamente. Entonces, la única manera de continuar es distribuyendo, pues no hay otra manera. Y debes estarte preguntando “¿Para qué haríamos eso?” Porque en realidad, se trata de algo más de intuición y análisis. 

 

\[a v+b u+b v=0\]

 

Agrupando los vectores:

 

\[(a+b) v+b u=0\]

 

Como puedes ver, la combinación lineal cambió de forma. Estamos haciendo una \(CL\) de \(v ,u\), no de \(u, u+v\). “Ah, pero \(v\) está multiplicado por una suma, no vale” Pues si vale, porque la suma de dos números reales también es un número real, entonces podemos tratarlo como un coeficiente \(c=a+b\).

 

\[c v+b u=0\]

 

Ahora viene la parte que dije. Si no “interpretamos” el resultado, no podemos seguir resolviendo. Entonces, cuando esto ocurra y estés a mitad de un examen sin saber hacia dónde continuar es hora de usar una HIPÓTESIS.

 

Esta dice que \(\{v, u\}\) es \(L I\), ¿y que dice la definición de \(L I\)?

 

¡Que podemos igualar los coeficientes a cero!

 

 

OBS: ¡Presta atención a lo siguiente! Al comienzo del enunciado no podíamos igualar los coeficientes a cero. “¿Por qué?” Porque en cuestión no sabíamos si los vectores \(u, u+v\) eran \(L I\), siendo así nada de igualar los coeficientes a cero.

 

Bien, igualando los coeficientes a cero:

 

\[\left\{\begin{array}{c}c=a+b=0 \Rightarrow a=0 \\ b=0\end{array}\right.\]

 

Acabamos de hallar que \(a=b=0\), exactamente lo que queríamos. Eso es todo, acabamos de hallar que los coeficientes de la \(CL\) son:

 

\[a v+b(u+v)=0\]

 

¡Son cero! Entonces, esos vectores son \(L I\).

 

Veamos otro ejemplo, uno más corto:

 

Ej: si \(\{u, v, w\}\) es \(L I\), ¿entonces \(\{u+v, v-w\}\) es \(L I\)?

 

Mismo procedimiento, vamos a separar en hipótesis y tesis:

 

Hipótesis: si \(\{u, v, w\}\) es \(L I\)

 

Tesis: \(\{u+v, v-w\}\) es \(L I\)

 

Veamos la tesis:

 

\[a(u+v)+b(v-w)=0 \Rightarrow\]

 

\[a u+a v+b v-b w=0 \Rightarrow\]

 

\[(a+b) v+a u-b w=0\]

 

Aplicando la hipótesis (escribe eso en tu examen, para demostrarle al profesor que sabes lo que estás haciendo)

 

\[\left\{\begin{array}{c}a+b=0 \Rightarrow 0+0=0(\text { satisface}) \\ \qquad \begin{array}{c}a=0\end{array} \\ -b=0 \Rightarrow b=0\end{array}\right.\]

 

Bien, tenemos que los coeficientes son cero, además la ecuación nos dice que este es el único resultado posible, por tanto, \(\{u+v, v-w\}\) es \(L I\).

 

Otro ejercicio un poco distinto:

 

Si \(\{u, v, w\}\) es \(L I\), entonces \(\{u, v\}\) es \(L I\).

 

Esta es una de las veces en las que no podemos resolver a partir de la tesis. Vamos a partir desde otra ecuación:

 

\[a u+b v+c w=0\]

 

“Ahh, pero estás usando una hipótesis” Nada que ver, todavía no he utilizado ningún dato de la hipótesis, se trata de una combinación lineal conveniente de acuerdo con la hipótesis, pero el dato de que los tres vectores son \(L I\) todavía no ha sido usado. Por tanto, como sabemos que ellos son \(L I\) sabemos que \(a=b=c=0\).

 

Entonces, vamos a decir que \(c\) es \(0\):

 

\[a u+b v=0\]

 

Pero como \(a=b=c=0\), por hipótesis, podemos decir que \(a=b=0\). Y junto con la ecuación anterior podemos decir que los dos vectores son \(L I\). 

 

Conclusiones

 

A partir del último ejercicio, podemos analizar un hecho importante:

 

Hecho: todo subconjunto de un conjunto \(L I\), también es \(L I\).

 

Y además de eso, podemos analizar un patrón en los otros ejercicios. Normalmente, basta con seguir los siguientes pasos:

 

Paso 1: separar en hipótesis y tesis

 

Paso 2: poner la tesis en forma de ecuación 

 

Paso 3: desarrollar la ecuación, para alcanzar el objetivo (concluir la tesis). Generalmente en este paso debes distribuir.

 

Paso 4: aplicar la hipótesis y desarrollarla hasta encontrar algo.

 

Paso 5: sacar la conclusión del resultado hallado.

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