Dependencia Lineal
¡Bienvenidos, espero que estén genial! En esta ocasión hablaremos sobre la dependencia e independencia lineal, un concepto esencial para el álgebra lineal.
Para saber si un conjunto de vectores es linealmente dependiente \((LD)\) o linealmente independiente \((LI)\) solo debemos ver si alguno de los vectores es la combinación lineal de los demás.
Si todavía no lo has entendido, veamos un ejemplo:
Tenemos este conjunto de vectores:
\[\{(1,1),(1,0)\}\]
¿Será que haciendo alguna \(CL\) podemos generar el vector nulo? Veámoslo:
\[a(1,1)+b(1,0)=(0,0) \Rightarrow\]
\[(a, a)+(b, 0)=(0,0) \Rightarrow\]
\[(a+b, a)=(0,0)\]
Armando el sistema:
\[\left\{\begin{array}{c}a+b=0 \\ a=0\end{array}\right.\]
Podemos ver que \(a=0\) y, por consecuencia \(b=0\).
Entonces, solo existe una manera de generar el vector nulo, que es \(a=0\) y \(b=0\) y esa es la solución que no queremos. Cuando LA ÚNICA manera de generar el vector nulo es cuando todos los coeficientes son iguales a cero, el conjunto es \(L I\).
También podemos interpretarlo de la siguiente forma:
Obs: recuerda que en la ecuación \((I)\), \(0\) es el VECTOR NULO, entonces este es \(0=\bigg(\underbrace{0, \ldots, 0}_{n \text { veces }}\bigg) \in \mathbb{R}^{n}\). Mientras que en la ecuación \((II)\) \(0\) es un NÚMERO REAL, esto quiere decir que \(0 \in \mathbb{R}\).
¿Y cuando esto no sucede? Diremos que los vectores son linealmente dependientes.
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo: ¿el conjunto \(\{(1,1,1),(0,1,0)\}\) es \(L I\) o \(L D\) ?
Aplicando la definición:
\[a(1,1,1)+b(0,1,0)=0 \Rightarrow\]
\[(a, a+b, a)=0 \Rightarrow\]
\[\left\{\begin{array}{c}a=0 \\ a+b=0 \Rightarrow b=0 \\ a=0\end{array}\right.\]
Como puedes ver, al utilizar la definición siempre obtendremos un sistema lineal el cual debemos resolver para hallar el valor de los coeficientes. En este caso, hallamos que \(a=b=0\), es decir, los coeficientes siempre son \(0\). Y de acuerdo con la definición, los vectores son \(LI\), porque todos los coeficientes son nulos.
Ejemplo: ¿el conjunto \(\{(1,0),(0,1),(2,2)\}\) es \(L D\) o \(L I\)?
Veamos:
\[a(1,0)+b(0,1)+c(2,2)=0 \Rightarrow\]
\[(a+2 c, b+2 c)=0\]
Igualando los vectores y armando el sistema:
\[\left\{\begin{array}{c}a+2 c=0(I) \\ b+2 c=0(I I)\end{array}\right.\]
Si hacemos \((I)-(I I)\), tenemos:
\[a-b=0 \Rightarrow\]
\[a=b\]
Todavía no hemos terminado, tenemos que sustituir en alguna de la otras ecuaciones para ver la relaciones con el coeficiente \(c\), porque todo debe estar en función de una misma constante. Vamos a sustituir en \((II)\):
\[b+2 c=0 \Rightarrow\]
\[a+2 c=0 \Rightarrow\]
\[a=-2 c\]
Entonces, hallamos que:
\[a=b \space \text{ y } \space a=-2 c \therefore\]
\[b=-2 c\]
¡Que respuesta tan rara! ¿Qué quiere decir eso?
Eso significa que si tomamos \(a=-2 c\) y \(b=-2 c\) y sustituimos en \(a(1,0)+b(0,1)+c(2,2)=0\), siempre tendremos el vector nulo. Mira:
\[(a+2 c, b+2 c)=0 \Rightarrow\]
\[(-2 c+2 c,-2 c+2 c)=0 \Rightarrow\]
\[(0,0)=0\]
Entonces, si por ejemplo, \(c=1\), basta que \(a=b=-2\). De esta forma, la ecuación sería:
\[-2(1,0)+(-2)(0,1)+1(2,2)=0\]
Pero podríamos multiplicar la ecuación por cualquier constante. Como por ejemplo, por \(3\):
\[-6(1,0)+(-6)(0,1)+3(2,2)=0\]
Entonces, tenemos infinitas posibilidades de generar el vector nulo. Eso quiere decir que el conjunto es \(LD\).
Otra manera de pensar sobre la dependencia lineal es: “Un conjunto es \(LD\) si existen infinitos coeficientes reales que GENERAN EL VECTOR NULO”.
Métodos prácticos
El último ejercicio fue un poco complicado, ¿verdad? Pues, en realidad, existen maneras mucho más simples de saber si un conjunto es \(L I\) o \(L D\). Una de ellas es la siguiente:
“Un conjunto de vectores es \(L D\) si, y solamente si, alguno de sus vectores es \(CL\) de los demás”.
Es decir, en el ejemplo anterior solo basta ver que:
\[(2,2)=2(1,0)+2(0,1)\]
Y por tanto, el conjunto es \(LD\).
Existen otro par de métodos que nos ayudarán a saber si un conjunto de vectores es \(L I\) es \(L D\).
\(1.\) Observar cuál vector es \(CL\) de los demás. Obs: normalmente es el método más rápido.
\(2.\) Verificar los ceros en las coordenadas de los vectores.
Estos dos métodos utilizan el tip que acabo de mencionar, porque si descubres cuál es \(CL\) del resto, entonces podemos decir que el conjunto es \(LD\). Si no encuentras ningún vector así, entonces el conjunto es \(L I\).
Ejemplo: ¿el conjunto \(\{(1,1,1),(0,0,0)\}\) es \(L D\) o \(L I\)?
Ahí te va un truco. Ves que tiene el vector nulo, ¿no? Vamos a usar la definición:
\[a(1,1,1)+b(0,0,0)=0 \Rightarrow\]
\[a(1,1,1)=0 \Rightarrow\]
\[\left\{\begin{array}{l}a=0 \\ a=0 \\ a=0\end{array}\right.\]
Y piensas, “Ahh, entonces todos los coeficientes son cero, por tanto, el conjunto es \(LI\)”.
Mira, \(b\) multiplicó el vector nulo, cuando sumamos este despareció, PERO ESO NO QUIERE DECIR QUE SEA CERO. Quiere decir que es cualquier cosa, entonces tenemos infinitas posibilidades para \(b\) Y POR ESO EL CONJUNTO ES \(LD\).
Por tanto, siempre que tengamos al vector nulo, el conjunto será \(LD\), porque siempre pasará lo mismo que acabamos de ver.
Ejemplo: ¿el conjunto \(\{(0,500,2,3,0,100,0),(1,0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0,1)\}\) es \(L I\) o \(L D\)?
“¡WOW! Son un montón de coordenadas, ¿cómo voy a verificar todo eso?”
Tan solo mira la cantidad de ceros en las coordenadas de esos vectores. El vector \((0,500,2,3,0,100,0)\) posee cero en la primera, quinta y última coordenada. Y por coincidencia los otros dos vectores poseen cero en todas sus coordenadas exceptuando la primera y última, que es donde el vector \((0,500,2,3,0,100,0)\) tiene ceros. Por tanto, ningún vector consigue generar otro, pues no importa el múltiplo que escojamos el primer vector solo posee números (que no son cero), en donde los otros no tienen, y lo mismo ocurre con los vectores \((1,0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0,1)\). Entonces, podemos concluir que el conjunto es \(LI\).
Eso es todo amigos, ¡vamos a los ejercicios!
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