Ecuación de Bernoulli

Lo que necesitas saber antes de empezar

En dinámica de fluidos, estudiamos el movimiento de los fluidos.¿Pero cómo describimos el movimiento de un fluido?

Si fuéramos a describir el movimiento de cada una de las partículas microscópicas del fluido, incluyendo sus interacciones, nos quedaríamos tres milenios haciendo cuentas sin llegar a ninguna parte.

En vez de eso, estudiamos las líneas de corriente. ¿Pero qué es eso?

Si miramos las velocidades de un fluido en un régimen permanente o estacionario — aquel en el que el flujo no varía con el tiempo —, tendremos algo así:

Y si tomamos cuenta más y más puntos:

...Podemos ver una línea por donde las partículas de fluido pasan:

Eso es una línea de corriente!

Cuatro cosas importantes que necesitas saber sobre líneas de corriente:

1. Un punto de la línea de corriente está asociado a una sola velocidad

2. El vector velocidad es siempre tangencial a la línea de corriente

3. Las líneas de corriente nunca se cruzan. De lo contrario, tendríamos dos velocidades simultáneas a un solo punto de la línea de corriente

4. Cuanto más cercanas estén las líneas de corriente, mayor será la velocidad de flujo

Ten en cuenta que la velocidad del fluido es mayor en la región (2) que en (1), ya que las líneas están más cerca unas de otras

Ecuación de Bernoulli 

Bernoulli descubrió una ecuación que relaciona las propiedades de un fluido ideal (sin viscosidad ni fricción) a lo largo de una línea de corriente, utilizando la conservación de energía

A medida que el fluido corre, puede que la velocidad cambie. O quizás cambie la presión, la densidad o incluso la altura, ¿no?

Cómo podemos relacionar esas magnitudes? Con la ecuación de Bernoulli:

\(p+\frac{1}{2} \rho v^{2}+\rho g h=\text { constante }\)

Donde \(p\) es la presión en ese punto, \(\rho\) la densidad del líquido, \(v\) la velocidad, \(h\) es la altura de la tubería por la que corre el fluido.

Si tenemos dos puntos \(1\) y \(2\) sobre la misma línea de corriente, tenemos que:

\(p_{1}+\frac{1}{2} \rho_{1} v_{1}^{2}+\rho_{1} g h_{1}=p_{2}+\frac{1}{2} \rho_{2} v_{2}^{2}+\rho_{2} g h_{2}\)

A menos que se diga lo contrario, siempre consideraremos al flujo incompresible, es decir:

\(\rho_{1}=\rho_{2}\)

Y la ecuación de Bernoulli queda así:

\(p_{1}+\frac{1}{2} \rho v_{1}^{2}+\rho g h_{1}=p_{2}+\frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}+\rho g h_{2}\)

Hagamos los ejercicios (: