Aplicaciones de la Hidrodinámica

Veamos algunas aplicaciones de la hidrodinámica y cómo pueden aparecer en el examen, de acuerdo?

Efecto Venturi

Primero, ¿qué es un tubo de Venturi? Es un aparato usado, la mayoría de las veces, para calcular la velocidad de un flujo.

Tiene un formato que sigue un patrón más o menos igual a este 

 

Como se puede ver, hay un tubo con una restricción y dos columnas: una antes y una después de la restricción. La restricción es donde el tubo se queda con un área más pequeña, ¿de acuerdo? Y las columnas de fluido son estos cilindros verticales con \(p_{1}\) y \(p_{2}\)

 

Consideremos dos puntos: el punto 1, justo debajo de la columna de fluido 1, y el punto 2, justo debajo de la columna de fluido 2

 

Esos dos puntos que estamos considerando están en la dirección del flujo horizontal, y están a la misma altura

 

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los dos puntos: 

 

\(\frac{\rho v_{1}^{2}}{2}+\rho g h_{1}+P_{1}=\frac{\rho v_{2}^{2}}{2}+\rho g h_{2}+P_{2}\)

 

Como \(h_{1}=h_{2}\), cortamos las alturas en la ecuación anterior:

 

\(\frac{\rho v_{1}^{2}}{2}-\frac{\rho v_{2}^{2}}{2}=P_{2}-P_{1}\)

 

¿Está bien? Arreglando esto mejor:

 

\(P_{2}-P_{1}=\frac{\rho}{2}\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)\)

 

Hasta aquí sólo usamos Bernoulli. ¡Ahora viene el truco bajo la manga! Podemos medir esa diferencia de presión dada anteriormente usando el Principio de Stevin:

 

\(P_{1}=P_{2}+\rho g h\)

 

Entonces:

 

\(P_{2}-P_{1}=-\rho g h\)

 

Jugando con nuestra fórmula anterior:

 

\(-\rho g h=\frac{\rho}{2}\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)\)

 

\(\therefore\)

 

\(\rho g h=\frac{\rho}{2}\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right)\)

 

¡Listo! Esa es la idea básica de este tipo de preguntas. Siguiendo este camino, puedes encontrar una relación entre las dos velocidades usando el principio de Stevin

 

Hilo de Fluido 

Ya debes haber notado que el agua que sale del grifo se va afinando con la caída

 

De esta forma:

 

 

Es decir, el área \(A_{2}\) tiene una tendencia a ser menor que el área \(A_{1}\). Por que pasa eso?

 

Lo veremos combinando nuestro conocimiento de la ecuación de Bernoulli y de la Continuidad.

 

Explicación 1: Utilizando Bernoulli

 

Vamos a llamar Punto \(1\) al punto que posee área \(A_{1}\) y altura \(h\), y vamos a llamar Punto 2 \(A_{2}\) el punto que posee área \(A_{2}\) y altura \(0\)  (Eso mismo, ponemos el referencial en 2)

 

Vamos a analizar cada punto:

 

Punto 1:

 

\({ Altura }=h\)

 

\({ Presión } =P_{a t m}\)

 

\({Velocidad}=v_{1}\)

 

Punto 2:

 

\({ Altura }=0\)

 

\({ Presión } =P_{a t m}\)

 

\({Velocidad}=v_{2}\)

 

Una pregunta interesante: Por que la presión de los dos puntos es igual?

 

Podrías pensar: Debería aplicar \(P=\rho g h\) allí, ya que existe una diferencia de altura.

 

Pero usted no puede aplicar  esa fórmula allí. Por qué?

 

Porqué usted ya aplicó la ecuación de Bernoulli! Esa presión será la presión atmosférica debido a que en esos dos puntos el fluido está en contacto con el aire!

 

Bien? Vamos que vamos entonces!

 

De esta manera, aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2:

 

\(\frac{\rho v_{1}^{2}}{2}+\rho g h+P_{a t m}=\frac{\rho v_{2}^{2}}{2}+P_{a t m}\)

 

\(\frac{\rho v_{1}^{2}}{2}+\rho g h=\frac{\rho v_{2}^{2}}{2}\)

 

Sacando \(\rho\) y aislando \(v_{2}^{2}\)

 

\(v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2 g h\)

 

Como la velocidad del punto inferior varia con la altura,podemos llamarla \(v(h)\):

 

\( v_{2}=v(h)=\sqrt{v_{1}^{2}+2 g h} \)

 

Explicación 2: Usando la continuidad.

 

¡Ya casi estamos! Usemos ahora el Principio de Continuidad. Si tenemos en cuenta que el chorro de agua no tiene pérdidas de masa (por ejemplo, sin salpicaduras), podemos aplicar la ecuación de la continuidad:

 

\(A_{1} v_{1}=A_{2} v_{2}\)

 

Ahora, aislando \(A_{2}\):

 

\(A_{2}=A_{1}\left(\frac{v_{1}}{v_{2}}\right)\)

 

Sustituyendo el valor de \(v_{2}\) que encontramos:

 

\(A_{2}=A_{1}\left(\frac{v_{1}}{\sqrt{v_{1}^{2}+2 g h}}\right)\)

 

Utilizando: \(v_{1}=\sqrt{v_{1}^{2}}\), ya que \(v_{1}\) es positiva:

 

\(A_{2}=A_{1} \cdot\left(\frac{\sqrt{v_{1}^{2}}}{\sqrt{v_{1}^{2}+2 g h}}\right)=A_{1}\bigg(\sqrt{\frac{v_{1}^{2}}{v_{1}^{2}+2 g h}}\bigg)\)

 

\(\therefore\)

 

\(A_{2}=A_{1}(\sqrt{\frac{1}{1+\frac{2 g h}{v_{1}^{2}}}})\)

 

Si aumentamos \(h\), el denominador de la ecuación de  arriba crece, lo que disminuye el área \(A_{2}\).

 

Fácil?

 

Bernoulli y Lanzamientos 

Ahora vamos a ver cómo resolver problemas como este de aquí:

 

 

Lo que vamos a hacer es lo siguiente: primero, vamos a descubrir la velocidad en el punto 2. Haremos eso usando la ecuación de Bernoulli. Después de eso, analizaremos la cinemática del problema. 

 

Bueno, en nuestro ejemplo, ¿cuál es la velocidad en el punto 2?

 

Vamos a analizar las características de cada punto:

 

Punto 1 (en la superficie del líquido del tanque)

 

\({ Altura }=H\)

 

\({Presión}=P_{0}\)

 

\({Velocidad} \cong 0\)

 

Como puedes ver, la presión es igual a la presión atmosférica y la velocidad es muy cercana a cero, ya que estamos analizando un punto en la superficie del tanque.

 

Punto 2 (en el tubo, en el límite de la salida del tanque): 

 

\({ Altura }=0\)

 

\({ Presión }=P_{0}\)

 

\({Velocidad}=v_{2}\)

 

Por que la presión en ese punto también es \(P_{0}\)? Porque estamos considerando que ese punto está en el límite de la salida del tanque, es decir, está en contacto con la atmósfera.

 

Entonces:

 

\(P_{0}+\rho g H+0=P_{0}+\frac{\rho v_{2}^{2}}{2}\)

 

\(\therefore\) 

 

\(v_{2}=\sqrt{2 g H}\)

 

Bueno, encontrando el valor de la velocidad, el problema pasa a ser un problema de lanzamiento oblicuo.

 

A partir de ahí, dependerá del enunciado: puede ser que se pida el alcance máximo, la altura máxima, la velocidad al alcanzar el suelo, etc.

 

Sifón

Seguro ya te has tropezado con un problema que implique una imagen similar a esta.

 

 

Llamamos sifón a ese tubo en “U” invertido.

 

El sifón es básicamente un instrumento que saca fluido de un tanque y lo transporta a otro lugar. En el caso de la figura, el fluido está saliendo del punto \(A\) y siendo llevado al punto \(C\) , donde se vierte fuera del sistema.

 

En estos temas, generalmente aparecerán tres puntos:

 

• El punto donde se produce la entrada del fluido (en el caso de la figura, el punto \(A\)).

 

• El punto más alto (en el caso de la figura, el punto \(B\)).

 

• El punto donde se produce la salida del fluido (en el caso de la figura, el punto \(C\)).

 

Para calcular la velocidad de salida haremos así: aplicaremos Bernoulli entre los puntos \(A\) y \(C\)

 

Para ello, vamos a adoptar la altura \(0\) para el punto \(C\) . La diferencia de altura entre los puntos será \(h\)

 

 

La presión de \(A\) , en el caso de la figura, es la presión atmosférica. ¿Cómo sabemos eso? Basta con echar un vistazo a la figura y ver que el punto \(A\) se encuentra en la superficie del fluido

 

Pero el punto \(A\) está dentro de un tubo, ¿eso no afecta en nada?

 

Bueno, nos podemos aproximar a la velocidad de \(A\) por \(v_{A}=0\). Así, el régimen en ese punto es el hidrostático, lo que nos permite aplicar Stevin entre el punto \(A\) y cualquier punto justo al lado del tubo.

 

Como Stevin nos dice que puntos de alturas iguales tienen la misma presión, podemos decir que la presión en \(A\) es la presión atmosférica, ya que los puntos cercanos de la misma altura son puntos de la superficie , abierta a la atmósfera, y que, por lo tanto, poseen \(P=P_{a t m}\).

 

De acuerdo?

 

Y la presión en el punto \(C\)? Como está a la atmósfera, también será: \(P=P_{a t m}\). Por lo tanto, aplicando Bernoulli entre los puntos: 

 

\(P_{A}+\rho g h_{A}+\frac{\rho v_{A}^{2}}{2}=P_{C}+\rho g h_{C}+\frac{\rho v_{C}^{2}}{2}\)

 

\(h_{C}=0\)

 

\(h_{A}=h\)

 

\(v_{A}=0\)

 

\(P_{A}=P_{C}=P_{a t m}\)

 

\(\therefore\)

 

\(P_{a t m}+\rho g h+0=P_{a t m}+0+\frac{\rho v_{C}^{2}}{2} \rightarrow v_{C}=\sqrt{2 g h}\)

 

Y esa es la velocidad de salida (:

 

¿Y si la pregunta tiene un tubo que va un poco por debajo de la línea de agua del fluido?. Algo así:

 

 

 

Bueno, en ese caso, debemos comparar \(C\) no con \(A\), pero con el punto más arriba de  \(A\), en la misma vertical, que esté en la superficie del fluido. En uno de nuestros ejercicios esto quedará más claro. El resto del razonamiento de la cuestión, encontrar la presión en \(B\) y la altura máxima, siguen siendo el mismo.

 

Presión en el punto más alto

 

Podemos encontrar la presión en el punto más alto de la siguiente manera: aplicando Bernoulli entre los puntos \(B\) y \(C\).

 

\(P_{B}+\rho g h_{B}+\frac{\rho v_{B}^{2}}{2}=P_{C}+\rho g h_{C}+\frac{\rho v_{c}^{2}}{2}\)

 

Recordando que:

 

\(P_{c}=P_{a t m}\)

 

\(h_{c}=0\)

 

Para el principio de continuidad, tenemos que: \(v_{c}=v_{B}=v\).

 

Así que:

 

\(P_{B}+\rho g h_{B}+\frac{\rho v^{2}}{2}=P_{c}+\frac{\rho v^{2}}{2}\)

 

\(\therefore\)

 

\(P_{B}=P_{c}-\rho g h_{B}\)

 

En el cual \(h_{B}\) es la altura del punto más alto hasta el nivel de referencia, que en este caso es el punto de salida \(C\)

 

Altura máxima del punto más alto.

 

Para encontrar la presión en el punto más alto, basta con analizar la situación extrema: Cuando la presión \(B\) en es nula:

 

\(P_{B}=0\)

 

\(\therefore\)

 

\(0=P_{c}-\rho g H \rightarrow H=\frac{P_{c}}{\rho g}=\frac{P_{a t m}}{\rho g}\)

 

Y \(H\) representa la altura desde el nivel del punto \(C\) hasta el punto más alto del sifón.

 

Ahora hagamos unos ejercicios. (:

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