Fuerza y Campo Gravitacional

Aquí comenzaremos un nuevo viaje de aprendizaje. Entenderemos cómo funciona la Teoría de la gravitación formulada por nada más que nuestro viejo conocido Sir Isaac Newton.

 

Para Newton, no bastaba con entender cómo funciona la mecánica en la superficie de la Tierra. ¡No, mis queridos amigos, él quería más! Y por lo tanto, formuló una teoría para estudiar la interacción entre cuerpos celestes. ¡Está directamente relacionado a los axiomas que él fundamentó!

 

Una fórmula específica para la ley de gravitación 

 

Newton propuso que todos los objetos del universo atraen a cualquier otro objeto con una fuerza.

 

Estamos hablando de la ley de gravitación universal, la cual enuncia que entre cuerpos de masa \[M\] y \[m\] hay una fuerza gravitatoria, cuyo módulo es:

 

\[F=\frac{G M m}{R^{2}}\]

 

Donde:

\[R\]: es la distancia entre los cuerpos de masa \[M\] y \[m\]

 

\[G\]:es la constante gravitacional, cuyo valor es \[6,67 \cdot 10^{-11} N m^{2} / k g^{2}\]

 

Podemos notar que la fuerza gravitatoria es:

 

• Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los objetos; 

 

• Directamente proporcional al producto de las masas de los dos objetos;

 

Al igual que todas las fuerzas, la fuerza gravitatoria es un vector y por eso posee un módulo, una dirección y un sentido.

 

Para conocer la dirección y el sentido, basta recordar que la fuerza gravitatoria entre dos partículas actúa siempre a lo largo de la línea que une las dos partículas y ¡es SIEMPRE atractiva!

 

En forma vectorial, podemos escribir que la fuerza gravitatoria que el cuerpo de masa \[M\] ejerce en el cuerpo de masa \[m\]

 

\[\vec{F}=\frac{G M m}{R^{2}} \vec{r}\]

 

Dónde \[\hat{r}\] es el vector unitario que apunta al del cuerpo de masa \[M\]

 

Una pregunta que puede surgir cuando introducimos la idea de la fuerza gravitatoria es: ¿por qué no usamos esa fórmula en cuerpos que se encuentren en la superficie de la Tierra?

 

Simple, mira este ejemplo.

 

Sean dos personas de masa \[70 \mathrm{kg}\] alejadas \[1 m\] el uno del otro, ¿cuál es el valor de la fuerza que actúa sobre ellas?

 

\[F=\frac{G M m}{R^{2}} \rightarrow \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 70 \cdot 70}{1^{2}}=3,26 \cdot 10^{-7} N\]

 

De ninguna manera, ¿verdad? ¡Nunca te darías cuenta de una fuerza de esta magnitud!

 

Fuerza gravitatoria en cuerpos esféricos 

 

En muchos ejemplos, consideraremos los cuerpos celestes esféricos.

 

Sin embargo, debemos recordar que, en estos tipos de cuerpos, podemos considerar que toda la masa de la esfera se encuentra en el centro de la misma. ¿Pero, como así?

 

Veamos un ejemplo

 

¿Cuál es la magnitud de la fuerza gravitatoria ejercida por la esfera 1 (masa \[100 \mathrm{kg}\], radio \[1 m\]) y la esfera 2 (masa \[50 \mathrm{kg}\], radio \[3 m\]) cuando sus superficies están lejos de \[2 m\]?

 

 

Tenemos los valores de \[M\] y \[m\] , pero necesitamos saber qué valor \[R\]

 usaremos, ¿verdad? Como se ha dicho, concentraremos la masa de la esfera en el centro de la misma, y la distancia \[R\] será la distancia entre los centros:

 

\[R=3+2+1=6 m\]

 

Aplicando la fórmula siguiente:

 

\[F=\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 50 \cdot 100}{6^{2}}=9,26 \cdot 10^{-9} N\]

 

Campo gravitatorio 

Otro concepto que es muy citado en ejercicios es el de campo gravitatorio o aceleración gravitatoria. No es ningún bicho de 7 cabezas, se relaciona a todo lo anterior ya visto.

 

Imagina que una masa \[M\] ejerce una fuerza gravitatoria \[F\] en una masa \[m\] distante \[r\] de ella. La fórmula que relaciona estas variables es:

 

\[F=\frac{G M m}{r^{2}}\]

 

Usando la segunda ley de Newton, tenemos que:

 

\[F=m a\]

 

Igualando las ecuaciones, tenemos:

 

\[m a=\frac{G M m}{r^{2}} \rightarrow a=\frac{G M}{r^{2}}\]

 

Esa aceleración \[a\], cuando se analiza en forma de campo vectorial, se llama campo gravitatorio y se expresa normalmente por la letra \[g\].

 

\[\vec{g}=\frac{G M}{r^{2}} \hat{r}\]

 

Dónde \[\hat{r}\] es el vector unitario que apunta al cuerpo de masa \[M\]

 

Aquí en la Tierra, podemos saber el valor de \[g\] usando la siguiente fórmula

 

\[g=\frac{G M_{T}}{R_{T}^{2}}\]

 

Donde:

 

• \[M_{T}\]: es la masa de la Tierra, que es igual a \[5,98 \cdot 10^{24} k g\]

 

• \[R_{T}\]: es el radio de la Tierra, que es igual a \[6,38 \cdot 10^{6} m\]

 

Y, reemplazando los datos:

 

\[g=\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,98 \cdot 10^{24}}{\left(6,38 \cdot 10^{6}\right)^{2}}=9,8 m / s^{2}\]

 

Puedes darte cuenta de que la aceleración de la gravedad en la superficie es altamente dependiente de qué planeta estemos hablando, ya que depende del radio y la masa del planeta.

 

¿Pero qué haríamos entonces para descubrir la gravedad en otro planeta?

 

¡Simple! El enunciado te dirá los valores del radio y la masa y los reemplazarás en la fórmula.

 

¿Y qué sucede si tenemos que calcular el campo gravitatorio de un cuerpo esférico no macizo?

Imagínate lo siguiente:

 

Sea una esfera de densidad volumétrica de masa  \[\rho\] y radio \[R\], con una cavidad esférica de radio \[a\] con centro distando \[d\] del centro de la esfera. Calcular el campo gravitatorio a una distancia \[r\] del centro de la esfera y \[r^{\prime}\] desde el centro de la cavidad.

 

Empecemos, como siempre, dibujando.

 

 

Sea \[\overrightarrow{g_{1}}\] el campo gravitatorio generado por la esfera de radio \[R\] entera, sin la cavidad. Su cálculo es simple:

 

\[\overrightarrow{g_{1}}=\frac{G M}{r^{2}} \hat{r}\]

 

Cómo la esfera es homogénea:

 

\[M=\rho V=\frac{4 \pi R^{3} \rho}{3}\]

 

Y entonces:

 

\[\overrightarrow{g_{1}}=\frac{4 \pi R^{3} \rho G}{3 r^{2}} \hat{r}\]

 

Ahora tenemos que averiguar cómo funciona esa cavidad en el campo gravitatorio.

 

Lo que vamos a hacer es simple: supongamos que existe una esfera donde existe una cavidad de radio \[a\] y con la misma densidad \[\rho\]. El campo gravitatorio generado por ella, en un punto distante \[r^{\prime}\] de su centro sería:

 

\[\overrightarrow{g_{2}}=\frac{G M^{\prime}}{r^{2}}\]

 

Eso es todo! Consideraremos que esta esfera que estamos diciendo que existe en el lugar de la cavidad tiene masa negativa:

 

\[M^{\prime}=-\rho V^{\prime}=-\frac{4 \pi a^{3} \rho}{3}\]

 

Y:

 

\[\overrightarrow{g_{2}}=-\frac{4 \pi a^{3} \rho G}{3 r^{2}} \widehat{r}\]

 

Para obtener el campo total \[\vec{g}\] basta con sumar \[\overrightarrow{g_{1}}\] y  \[\overrightarrow{g_{2}}\]

 

\[\vec{g}=\frac{4 \pi \rho G}{3}\left(\frac{R^{3}}{r^{2}} \hat{r}-\frac{a^{3}}{r^{2}} \widehat{r}^{\prime}\right)\]

 

¿Entiendes? ¡Ahora tenemos que practicar!

 

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